高中数学教学论文 圆锥曲线“准点”性质初探.doc

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1、圆锥曲线“准点”性质初探圆锥曲线的焦点、顶点及准点是中学数学研究的重点和热点。由于它们容纳了圆锥曲线的基本属性，因而也倍受高考命题者的青睐和关注。从近几年高考圆锥曲线试题来看，涉及这方面内容的考题不胜枚举，由于圆锥曲线中的“三点”有着深厚的文化底蕴和广泛的知识背景，下面就此来研究一下与圆锥曲线“准点”有关的一些性质及应用，以抛砖引玉。1性质呈现及证明定义1：圆锥曲线的准线与对称轴的交点叫准点（自定义）。定义2：过圆锥曲线的准点作一直线与圆锥曲线交于两点，这两点与其准点相对应的焦点所组成的三角形叫准焦三角

2、形（自定义）。定义3：焦点在横轴上的圆锥曲线叫横向型圆锥曲线（自定义）。通过探究笔者发现横向型圆锥曲线的准点具有如下性质：定理1：已知是经过横向型圆锥曲线的准点所作的斜率为或倾斜角为的直线，且直线与圆锥曲线交于两点，是与准点相对应的焦点，焦准距为，离心率为，则：（Ⅰ）（Ⅱ）若则当时，（对于抛物线、椭圆均取正；对于双曲线，当两点在双曲线的同支上时取正，当两点分别在双曲线的异支上时取负）；（Ⅲ）（Ⅳ）；（Ⅴ）证明：由题易知圆锥曲线的准线方程为，直线的方程为，设是圆锥曲线上的任一点，它到准线的距离为，再设，则

3、由圆锥曲线第二定义可知：，化简整理得：，将代入得：，，焦准距为（Ⅰ）由弦长公式可知：6，当时，（Ⅱ）由上可知，由于方程的判别式，经化简整理得，因而当，即时，直线与圆锥曲线才有两个交点，由，故，而，由于，，因而，，特别的对于抛物线和椭圆，由于，故；而对于双曲线，当时，两点在双曲线的异支上，此时，故时，两点在双曲线的同支上，故（Ⅲ）由于，点到直线的距离为，所以6（Ⅳ）因为，，所以（Ⅴ）由于，所以，故，即由定理中（Ⅰ）、（Ⅱ）又可以分别得到如下推论：推论1：若是离心率为的横向型圆锥曲线Γ的准点，经过作斜率为的

4、直线，则（1）与Γ相离的充分必要条件是；（2）与Γ相切的充分必要条件是（3）与Γ相交的充分必要条件是推论2：设是离心率为的横向型圆锥曲线Γ的焦点，是与焦点相对应的准点，经过点作斜率为的直线与圆锥曲线交于两点，则的充分必要条件是通过进一步研究笔者又发现过准点的直线与过对应焦点的直线斜率存在如下关系：定理2：经过离心率为的横向型圆锥曲线准点的直线与圆锥曲线的一个交点是，是与准点相对应的焦点，若直线的斜率为（或倾斜角为），直线的斜率为（或倾斜角为），则或证明：可设，将两个方程联立得点的横坐标为，代入中并化简：

5、，，两边同时除以得：或又当时，，因而由此又可以得到如下推论：6推论3：经过离心率为的横向型圆锥曲线准点的直线与圆锥曲线的一个交点是，是与准点相对应的焦点，若直线的斜率为，，则又因为所以我们又可得到：推论4：经过离心率为的横向型圆锥曲线准点的直线与圆锥曲线的一个交点是，是与准点相对应的焦点，若直线的斜率为，，则由于圆锥曲线的“三点”蕴含着丰富的性质，因而其应用就相当广泛，为此下面就举几个例子。2性质的应用例1、已知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交与两点，且。（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）求直线AB

6、的斜率；（Ⅲ）设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值。解：（Ⅰ）由//且，得，从而，，故离心率（Ⅱ）由（Ⅰ）知，准点，所以椭圆的方程可写为，再由推论1可知：直线与椭圆相交的充分必要条件是设直线AB的方程为，由已知设，则它们的坐标满足方程组，消去整理，得.而①②6由题设知，点B为线段AE的中点，所以③联立①③解得：，，将代入②中，解得满足题意.（Ⅲ）略。评注：在此基础上可根据定理1，求出的面积和线段的长等。例2、经过双曲线的左准点，作双曲线的切线，求直线的方程。解：，左准点，由推论

7、1得直线的斜率，故所求切线的方程为例3、经过椭圆的左准点，作斜率为的直线与椭圆相交于两点，是在椭圆的左焦点，若且椭圆过点，求椭圆的方程。解：由题易知：，再由定理1中可得：代入中得：，所以所求椭圆方程为例4、是双曲线的左准点，是左焦点，是双曲线上的一点，若直线的斜率为，求直线的方程。解：由题知：，，由定理2得，解得而，所以直线的方程为以上就是与圆锥曲线准点有关的几个性质及其应用。实际上圆锥曲线奥妙无穷，他有着丰富的性质，只要认真去研究，总会得出一些“蹊跷”，因而我们要在不断的探索中去发现、去认识圆锥曲线。

8、以上的性质和推论还可以用参数方程或极坐标方程来探究，有兴趣的读者不妨试一试。参考文献：1、赵思林.研究高考数学试题的几种视角,中学数学教学参考,2009.4(上旬刊)2、邹生书.双曲线渐进三角形性质再探,中学数学教学,2009.1(双月刊)3、林新建.二次曲线的“焦弦定理”,中学数学教学,2009.2(双月刊)61、罗增儒.解题思路知识背景与考查功能,中学数学教学参考,2009.9(上旬刊)6