九年级数学上册 21.3二次根式的加减 海伦公式简介素材 新人教版.doc

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1、海伦公式简介海伦公式,又译希伦公式、海龙公式,亦称“海伦-秦九韶公式”.传说是古代的叙拉古国王希耶隆二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取三角形面积.但根据MorrisKline在1908年出版的著作考证,这条公式其实是阿基米德所发现,以托希伦二世的名发表.假设有一个三角形,边长分别为a,b,c,三角形的面积S可由以下公式求得:,这里.中国南宋末年数学家秦九韶发现或知道等价的公式,其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积.“问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,里法三百步,欲知为田几何?”答曰:“三百十五顷

2、.”其术文是:“以小斜幂并大斜幂,减中斜幂,余,半之.同乘于上,以小斜幂乘大斜幂,减上.余,四约之为实,开平方,得积.”若以大斜记为a,中斜记为b,小斜记为c,秦九韶的方法相当于下面的一般公式:,这里.像中国古代的数学家一样,他的方法没有证明.根据现代数学家吴文俊的研究,秦九韶公式可由出入相补原理得出.一些中国学者将这个公式称为秦九韶公式.由于任何n边的多边形都可以分割成n−2个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式.比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案.与海伦在他的著作《Me

3、trica》中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明.设三角形的三边a,b,c的对角分别为A,B,C,则余弦定理为.从而有.因此三角形的面积S为.

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