九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径导学案(含解析)(新版)新人教版.doc

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1、垂直于弦的直径一、新课导入1、圆是轴对称图形,经过直径的直线是圆的对称轴,一个圆有无数条对称轴;2、把一个圆沿一条直径对折,直径两侧的半圆有什么关系?二、学习目标1、掌握垂径定理和垂径定理的推论;2、能利用垂径定理及垂径定理的推论解决实际问题。三、研读课本认真阅读课本的内容,完成以下练习。(一)划出你认为重点的语句。(二)完成下面练习,并体验知识点的形成过程。研读一、认真阅读课本要求:掌握垂径定理,会用几何语言表示垂径定理。一边阅读一边完成检测一。检测练习一、1、圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条过圆心的直线,一个圆有无数条对称轴。2、圆心到弧的垂线段的长度叫做弦心距

2、。3、如图,AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M,则有AM=BM,=,=,4、垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。5、垂径定理的两个条件:①直径;②垂直于弦。结论:③平分弦;④平分弦所对的两条弧。完成尝试应用6、下列四个图形中第几个可以用垂径定理:【解析】第一个图形中的AB虽然垂直于弦CD,但是AB不是⊙O的直径,所以不能用垂径定理;第二个图形中的AB虽然是直径,但是AB不垂直于弦CD,所以不能用垂径定理;第三个图形中的OE虽然垂直于弦CD,但是OE不是⊙O的直径,所以不能用垂径定理;第四个图形中的AB是⊙O的直径,并且AB垂直于弦CD,所以

3、能用垂径定理;研读二、认真阅读课本,利用圆的轴对称性探索垂径定理的推论;问题探究:7、如下图所示,CD是⊙O的直径,AM=BM,求证:CD⊥AB,弧AC=弧BC,弧AD=弧BD.证明:连接OA、OB,在△OAM和△OBM中,,∴△OAM≌△OBM,∴∠OMA=∠OMB=90°,∴CD⊥AB,∴CD是对称轴,∴把⊙O沿CD折叠时,点A与点B重合,∴弧AC=弧BC,弧AD=弧BD.结论:根据圆是轴对称图形可得:1、平分弦(不是直径)的直径,垂直于弦并且平分弦所对的两条弧;2、弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;3、平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦并且平分弦所

4、对的另一条弧.检测练习二、8、如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为M,求证:AM=BM,弧AC=弧BC,弧AD=弧BD.证明:连接OA、OB,∵CD⊥AB,∴∠OMA=∠OMB=90°,在Rt△OAM和Rt△OBM中,,∴△OAM≌△OBM,∴AM=BM,∴CD是对称轴,∴把⊙O沿CD折叠时,点A与点B重合,∴弧AC=弧BC,弧AD=弧BD.小窍门:通过连接弦的两个端点与圆心构造全等三角形,利用全等三角形的性质证明垂径定理.研读三、利用垂径定理探索夹在两条平行弦之间的两条弧的关系。9、已知,CD是⊙O的直径,AB⊥CD,EF⊥CD,弧AE和弧BF有什么关系?

5、【解析】∵CD是⊙O的直径,AB⊥CD,∴弧DE=弧DF,同理可证:弧AD=弧BD,∴弧AE=弧BF.结论:夹在两条平行弦之间的弧相等.研读四:已知:如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点.求证:AC=BD.【解析】过O作OE⊥AB,垂足为E,则AE=BE,CE=DE.∴AE-CE=BE-DE.∴AC=BD检测练习三、10、1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).【解析】过点O作OD⊥AB于D,并延长

6、OD交于点C,则AD=BD==18.7m,OA=OC=OB=R,∵CD=7.2m,∴OD=R-7.2m,∵,∴,解得:R≈27.9,答:桥拱的半径是27.9m.四、完成随堂练习(PPT)五、归纳小结(一)这节课我们学到了什么?(二)你认为应该注意什么问题?六、作业布置:完成课后练习.

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