【三维设计】2013高考数学一轮复习 第7节 数学归纳法我来演练.doc

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1、【三维设计】2013高考数学一轮复习第7节数学归纳法我来演练一、选择题1.(2012·济南模拟)用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上(  )A.k2+1B.(k+1)2C.D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2解析:当n=k时,等式左端=1+2+…+k2,当n=k+1时,等式左端=1+2+…+k2+答案:D2.如果命题p(n)对n=k成立,则它对n=k+2也成立.若p(n)对n=2成立,则下列结论正确的是(  )A.p(n)对所有正整数n都成立B.p(n)对所有

2、正偶数n都成立C.p(n)对所有正奇数n都成立D.p(n)对所有自然数n都成立解析:若n=2p(n)成立,则n=4,6,8,…,时p(n)成立.答案:B3.用数学归纳法证明不等式1+++…+>(n∈N+)成立,其初始值最小应取(  )A.7          B.8C.9D.10解析:可逐个验证,n的最小值为8.答案:B4.下列代数式(其中k∈N+)能被9整除的是(  )A.6+6·7kB.2+7k-1C.2(2+7k+1)D.3(2+7k)5用心爱心专心解析:(1)当k=1时,显然只有3(2+7k)能被9整除.(2)假设当k=n

3、(n∈N+)时,命题成立,即3(2+7n)能被9整除,那么3(2+7n+1)=21(2+7n)-36.这就是说,k=n+1时命题也成立.由(1)(2)可知,命题对任何k∈N+都成立.答案:D5.若凸n(n≥4)边形有f(n)条对角线,是凸(n+1)边形的对角线条数f(n+1)为(  )A.f(n)+n-2B.f(n)+n-1C.f(n)+nD.f(n)+n+1解析:由题意知f(n+1)-f(n)=n-1,故f(n+1)=f(n)+n-1.答案:B二、填空题6.在数列{an}中,a1=且Sn=n(2n-1)an,通过计算a2,a3,

4、a4,猜想an的表达式是____________.解析:a1==,a2==,a3==,∴an=.答案:an=7.(2012·徐州模拟)用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,当第二步假设n=2k-1(k∈N+)命题为真时,进而需证n=________时,命题亦真.解析:∵n为正奇数,假设n=2k-1成立后,需证明的应为n=2k+1时成立.答案:2k+1三、解答题8.已知点Pn(an,bn)满足an+1=an·bn+1,bn+1=(n∈N+),且点P1的坐标为(1,-1).(1)求过点P1,P2的直线l的方程;

5、(2)试用数学归纳法证明:对于n∈N+,点Pn都在直线l上.5用心爱心专心解:(1)由题意得a1=1,b1=-1,b2==,a2=1×=,∴P2(,).∴直线l的方程为=,即2x+y=1.(2)①当n=1时,2a1+b1=2×1+(-1)=1成立.②假设n=k(k≥1且k∈N+)时,2ak+bk=1成立.则2ak+1+bk+1=2ak·bk+1+bk+1=·(2ak+1)===1,∴当n=k+1时,2ak+1+bk+1=1也成立.由①②知,对于n∈N+,都有2an+bn=1,即点Pn在直线l上.9.设f(x)=,x1=1,xn=f

6、(xn-1)(n≥2,n∈N+).(1)求x2,x3,x4的值;(2)归纳并猜想{xn}的通项公式;(3)用数学归纳法证明你的猜想.解:(1)x2=f(x1)=,x3=f(x2)===,x4=f(x3)==.(2)根据计算结果,可以归纳猜想出xn=.(3)①当n=1时,x1==1,归纳出的公式成立.②假设当n=k(k∈N+)时,公式成立,即xk=,那么,xk+1====,所以,当n=k+1时公式也成立.5用心爱心专心由①②知,n∈N+时,有xn=成立.10.已知函数f(x)=x3-x,数列{an}满足条件:a1≥1,an+1≥f′

7、(an+1).试比较+++…+与1的大小,并说明理由.解:∵f′(x)=x2-1,an+1≥f′(an+1),∴an+1≥(an+1)2-1.∵函数g(x)=(x+1)2-1=x2+2x在区间[-1,+∞)上单调递增,于是由a1≥1,得a2≥(a1+1)2-1≥22-1,进而得a3≥(a2+1)2-1≥24-1>23-1,由此猜想:an≥2n-1.下面用数学归纳法证明这个猜想:①当n=1时,a1≥21-1=1,结论成立;②假设当n=k(k≥1且k∈N+)时结论成立,即ak≥2k-1,则当n=k+1时,由g(x)=(x+1)2-1在

8、区间[-1,+∞)上单调递增知,ak+1≥(ak+1)2-1≥22k-1≥2k+1-1,即n=k+1时,结论也成立.由①、②知,对任意n∈N+,都有an≥2n-1.即1+an≥2n.∴≤.∴+++…+≤+++…+=1-n<1.5用心爱心专心5用心爱

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