【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第52讲 圆锥曲线(一)教案.doc

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1、第52讲圆锥曲线(一)常见二次曲线有圆、椭圆、双曲线、抛物线等，前面已经研究过圆，本讲将对竞赛中常见的有关椭圆、双曲线、抛物线等问题作一些研究．1．各曲线的定义(1)椭圆：{P

2、

3、PF1

4、＋

5、PF2

6、＝2a，2a＞

7、F1F2

8、，F1、F2为定点，2a为正常数}；(2)双曲线：{P

9、

10、

11、PF1

12、－

13、PF2

14、

15、＝2a，2a＜

16、F1F2

17、，F1、F2为定点，2a为正常数}；(3)抛物线：{P

18、＝1，F为定点，

19、PH

20、是P到定直线l的距离}．圆锥曲线的统一定义：平面上，到一个定点F的距离与到一条定直线l的距

21、离之比为一个常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)．当0＜e＜1时，曲线是椭圆；当e＞1时，曲线是双曲线；当e＝1时，曲线是抛物线．这个定点F叫做曲线的焦点，定直线l叫做曲线的准线，定点F到定直线的距离p叫做焦参数．2．标准方程(1)椭圆：＋＝1(a＞b＞0)，＋＝1(a＞b＞0)；(2)双曲线：－＝1，－＝1(a＞0，b＞0)；(3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0)．3．几何性质：(见教材)4．直线与椭圆、双曲线、抛物线间关系的判别方法判断

22、直线与椭圆、双曲线、抛物线的关系的方法主要有两种：一种是由它们的方程消去一个未知数(如y)，得到另一个未知数(如x)的一元二次方程，利用其根的判别式Δ＞0、Δ＝0、Δ＜0可分别判断直线与椭圆、双曲线、抛物线有两个不同的公共点、只有一个公共点、没有公共点．对于双曲线、抛物线还要特别注意二次项系数是否为零的讨论．另一种是取椭圆、双曲线的参数方程，再转化为三角方程是否有解的问题．A类例题例1．椭圆＋＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么

23、PF1

24、是

25、PF2

26、的（）A．7倍

27、B．5倍C．4倍D．3倍(1998年全国高考题)分析本题涉及到椭圆的几何性质、焦半径长，中点坐标公式等，也可以用椭圆的第二定义来求解．解由已知得F1、F2的坐标分别为(－3，0)、(3，0)．设P(x，y)，线段PF1的中点的横坐标为0，那么＝0，x1＝3．将x1＝3代入椭圆方程得，y1＝±，所以P(3，±)，则

28、PF2

29、＝

30、y1

31、＝．因为

32、PF1

33、＋

34、PF2

35、＝4，则

36、PF1

37、＝，故

38、PF1

39、＝7

40、PF2

41、．说明本题也可以用焦半径公式求解，与焦半径有关的内容详见圆锥曲线(二)．-10-用心爱心专心

42、例2．设双曲线－＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a，0)、(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为()A．2B．C．D．(1996年全国高考题)解法一因为b＞a＞0，所以c2＝a2＋b2＞2a2，c＞a，则离心率e＝＞＞，故排除选项C、D．因为直线l过点(a，0)、(0，b)，原点到直线l的距离为c，则c2＝ab，检验A、B分支，选A．法二因为直线l过点(a，0)、(0，b)，则l的方程为bx＋ay－ab＝0，所以原点到直线l的距离为＝c，因为c2＝a2＋b2(b＞a

43、＞0)，所以＝c，整理得，3e4－16e2＋16＝0，解得e2＝4或e2＝．因为b＞a＞0，所以c2＝a2＋b2＞2a2，所以e2＝＞2，故e2＝4，即e＝2，故选A．例3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过动点M(a，0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，

44、AB

45、≤2p．(1)求a的取值范围；(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求ΔNAB面积的最大值．(2001年北京、内蒙古、安徽春季高考题)解(1)直线l的方程为：y＝x－a，将y＝x－a代入y2＝2px，得x2－2(a＋

46、p)x＋a2＝0．设直线l与抛物线两个不同的交点坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则又y1＝x1－a，y2＝x2－a，则

47、AB

48、＝＝＝．因为解得－＜a≤－．(2)设AB的垂直平分线交AB于点Q，令Q坐标为(x3，y3)，则由中点坐标公式得x3＝＝a＋p，y3＝＝＝p，所以，

49、QN

50、2＝(a＋p－a)2＋(p－0)2＝2p2，又ΔMQN为等腰直角三角形，则

51、QN

52、＝

53、QM

54、＝p．所以SΔNAB＝

55、AB

56、·

57、QN

58、＝p·

59、AB

60、≤p·2p＝p2．即当

61、AB

62、＝2p时ΔNAB面积的最大，最大值

63、为p2．-10-用心爱心专心说明平面解析几何是通过研究二次方程来研究二次曲线的，常常解题根据根与系数的关系整体利用两根的和与积．由于不论一元二次方程有无实根，根与系数的关系总成立，而解析几何中曲线的交点坐标是实数，因此使用根与系数关系时要注意检查该方程是否有实根．正确使用这一方法解题，大致有三个步骤：(1)把已知条件、要计算的对象、要证明的结论，写成x1＋x2、x1x2(或y1＋y2、y1y2)的式子；(2)由两条曲线(含直线)的方程消去一个未知数，得到另一个未知数的