【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第50讲 直线与区域教案.doc

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1、第10讲直线与区域直线是平面上最简单、最常见的几何图形．在解析几何中，直线是最基本的研究对象之一，它既能反映直线运动的规律，又是解决平面几何中直线型问题的强有力的工具．A类例题例1．直线bx＋ay＝ab(a＜0、b＜0)的倾斜角是()A．arctan(－)B．arctan(－)C．π－arctan(－)D．π－arctan(1993年全国高考题)分析直线方程的四种特殊形式，都可以化为直线方程的一般形式，但直线方程的一般形式不一定都能化为四种特殊形式，这与系数A、B、C是否为零有关．要会根据需要在直线方程的各种形式之间进行转换．本题为直线方程的一般形式，先化为斜截式，由直线

2、的斜率，得出直线的倾斜角．解因为a≠0，则方程bx＋ay＝ab化为y＝－x＋b，方程的斜率为k＝－，又a＜0、b＜0，则－＜0．故直线的倾斜角是π－arctan，选D．说明直线方程的常用形式为：(1)点斜式：y－y0＝k(x－x0)；(2)斜截式：y＝kx＋b；(3)两点式：＝；(4)截距式：＋＝1；(5)一般式：Ax＋By＋C＝0．此外有时为了解决问题的方便还可能用到：(1)法线式：xcosa＋ysina－p＝0(a∈[0，2p)，p≥0，任何直线都可用法线式表示)，a为直线的法线角(法线与x轴正向所成的角)，p为法线长(原点到直线的距离)；(2)参数式：(t为参数)；

3、Þ(t为参数，t表示点(x0，y0)到点(x，y)的线段的数量，a为直线的倾斜角)；(3)向量式：＝＋l(λ∈R)，＝l＋(1－l)，(λ∈R)等．在解决问题的过程中要注意灵活运用各种形式．例2．已知直线l1和l2夹角的平分线为y＝x，如果l1的方程是ax＋by＋c＝0(ab＞0)，那么l2的方程是（）A．bx＋ay＋c＝0B．ax－by＋c＝0C．bx＋ay－c＝0D．bx－ay＋c＝0(1992年全国高考题)分析直线l1和l2夹角的平分线为y＝x，则直线l1和l2关于直线y＝x对称．解由于点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(－y，－x)，故ax＋by＋c＝0关于直线

4、y＝x的对称的直线为ay＋bx＋c＝0，即l2的方程是bx＋ay＋c＝0．故选A．说明解析几何中对称的问题在高考和竞赛中经常出现，对称有两种：1．中心对称：点P(x0，y0)关于点(h，k)的中心对称的点为(2h－x0，2k－y0)；点P(x0，y0)关于原点(0，0)的中心对称的点为(－x0，－y0)；-8-用心爱心专心2．轴对称：(1)点P(x0，y0)关于x轴的对称点为(x0，－y0)；(2)点P(x0，y0)关于y轴的对称点为(－x0，y0)；(3)点P(x0，y0)关于直线x＝a的对称点为(2a－x0，y0)；(4)点P(x0，y0)关于直线y＝b的对称点为(x

5、0，2b－y0)；(5)点P(x0，y0)关于直线y＝x的对称点为(y0，x0)；(6)点P(x0，y0)关于直线y＝－x的对称点为(－y0，－x0)；(7)点P(x0，y0)关于直线x＋y＝a的对称点为(a－y0，a－x0)；(8)点P(x0，y0)关于直线x－y＝a的对称点为(a＋y0，x0－a)；(9)点P(x0，y0)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点，可先设对称点为(x，y)，列出方程组解此方程组即可得对称点坐标．例3．在约束条件下，求z＝x2＋y2的最大值和最小值．(1999年浙江高考模拟题)分析本题可以借助于线性规划问题的求解方法解决这一问题，关键是怎样理解

6、目标函数的几何意义，z＝x2＋y2＝()2表示的是区域上的点与原点的距离的平方，理解这一点问题就不难解决了．解约束条件表示的区域如图中ΔABC所围成的区域(包括边界)．因为z＝()2，所以z表示区域上的点与原点的距离的平方．又由图可知，区域中与原点距离最远的点为A或C点，则由A(3，4)可知zmax＝25．过O作OD⊥BC，垂足为D，则区域中与原点距离最近的点为D，直线BC为2x＋5y＝10，所以

7、OD

8、＝＝，则zmin＝．综上所述，z＝x2＋y2的最大值为25，最小值为．说明在解决区域的有关问题时，一般要利用数与形的结合，将需要解决的问题在图形中表现出来，因此正确地画出

9、不等式(组)所表示的区域就成为解题时一个重要的环节．情景再现1．(1)要使直线l1：(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝2m与直线l2：x－y＝1平行，求m的值．(1989年全国高考题)(2)直线l1：ax＋(1－a)y＝3与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直，求a的值．(1985年全国高考题)2．已知平面上两点A(4，1)和B(0，4)，在直线l：3x－y－1＝0上找一点M，使得

10、MA

11、－

12、MB

13、最大，求点M的坐标．(2002年南通高考模拟题)3．由方程

14、x－6

15、＋

16、y

17、＝

18、

19、所对应的曲线围成的图形的面积是