【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第51讲 圆教案.doc

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1、第51讲圆对圆的问题的研究是高中解析几何的重点内容之一,在高考和数学竞赛中也很常见,学习中应熟练掌握圆的方程的几种常见的形式:1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,其圆心为(a,b),半径为r(r>0).2.圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0,①当D2+E2-4F>0时,该方程表示圆,圆心(-,-),半径r=;②当D2+E2-4F=0时,该方程表示点(-,-)(点圆);③当D2+E2-4F<0时,该方程不表示任何曲线(虚圆).3.以(x1,y1),(x2,y2)为直径端点的圆的方程:(x-

2、x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0;4.圆的参数方程:圆心为(a,b)半径为r的圆的参数方程(θ为参数)同时在学习的过程中还应该注意点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及一些相关的结论,注意待定系数法的应用.与圆有关的问题还常常要考虑用平几方法来解.A类例题例1.设实数x,y满足(x-2)2+y2=3,那么的最大值是()A.B.C.D.(2000年全国高考题)分析由于(x,y)在圆上,则的值可以理解为通过圆上的点与原点连线的斜率,从而比较顺利地解决问题.解如图,方程(x-2)2+y2=3的图形为圆心在

3、(2,0),半径为r=的圆.设=k,则k为y=kx的斜率,显然k的最大值是在直线y=kx与圆在x轴上方相切时得到,即直线OM的斜率为k的最大值.又

4、AM

5、=,

6、OA

7、=2,则∠MOA=.于是可得的最大值是k=tan=,故选D.说明这里运用数形结合的思想,把视为圆上一点(x,y)与原点连线的斜率是破题的“高明”之招.本题也可以直接解出:以y=kx代入圆的方程(k2+1)x2-4x+1=0,这是关于x的二次方程,Δ=4-(k2+1)≥0,解得k2≤3,则k的最大值为.例2.自点A(-3,3)发出的光线L射到x轴上,被

8、x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线L所在直线的方程.(1989年全国高考题)分析考虑作出已知圆关于x轴的对称图形——圆C',则两条入射光线均与圆C'相切,以此为突破口解决问题.解已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1,它关于x轴的对称圆的方程是(x-2)2+(y+2)2=1,①-8-用心爱心专心设光线L所在直线的方程是y-3=k(x+3)(其中斜率k待定)由题设知对称圆的圆心C'(2,-2)到这条直线的距离等于1,即d==1.整理得,12k2+25k+12=0,解

9、得k=-,或k=-.故所求的直线方程是y-3=-(x+3),或y-3=-(x+3),即3x+4y-3=0,或4x+3y+3=0.例3.设圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1.在满足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.(1997年全国高考题)分析要求圆心到直线的距离最小的圆的方程,必须先求出距离的最小值或求出何时距离最小,可以把本题先化成一个最值问题,解决之后再来求圆的方程.解法一设圆的圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴距离分别为

10、

11、b

12、,

13、a

14、.由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°,知圆P截x轴所得的弦长为r,故r2=2b2.又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有r2=a2+1.从而得2b2-a2=1.又点P(a,b)到直线x-2y=0的距离为d=,所以5d2=

15、a-2b

16、2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1.当且仅当a=b时上式等号成立,此时5d2=1,从而d取得最小值.由此有解此方程组得或由于r2=2b2,则r=.于是,所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=

17、2.解法二同解法一得d=,所以,a-2b=±d,得a2=4b2±4bd+3d2,(1)将a2=2b2-1代入(1)式,整理得2b2±4bd+5d2+1=0(2)把它看作b的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即Δ=(±4d)2-4×2×(5d2+1)=8(5d2+1)≥0,解得5d2≥1.所以5d2有最小值1,从而d有最小值为.将其代入(2)式得2b2±4b+2=0,解得b=±1.将b=±1代入r2=2b2,r2=2,由r2=a2+1得a=±1.综上a=±1,b=±1,r2=2,由

18、a-2b

19、=1知,a,b同

20、号,于是,所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2.-8-用心爱心专心说明在解题的过程中,要体会如何合理刻画最值.情景再现1.过点A(1,-1)、B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是()A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2

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