【优化方案】2013年高考数学总复习 第四章第3课时知能演练 轻松闯关 文.doc

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1、【优化方案】2013年高考数学总复习第四章第3课时知能演练+轻松闯关文1．已知a、b是非零向量，且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是(　　)A.　　　　　　　　　　　B.C.D.解析：选B.(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，∴a2－2a·b＝0，b2－2a·b＝0，∴a2＝b2，即

2、a

3、＝

4、b

5、，∴

6、a

7、2－2

8、a

9、2cosθ＝0，解得cosθ＝，即a与b的夹角θ为.故选B.2．(2011·高考大纲全国卷)设向量a，b满足

10、a

11、＝

12、b

13、＝1，a·b＝－，则

14、a＋2b

15、＝(　　)A.B.C.D.

16、解析：选B.∵

17、a

18、＝

19、b

20、＝1，a·b＝－，∴

21、a＋2b

22、2＝a2＋4b2＋4a·b＝1＋4＋4×＝5－2＝3.∴

23、a＋2b

24、＝.3．(2011·高考辽宁卷)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则

25、a＋b－c

26、的最大值为(　　)A.－1B．1C.D．2解析：选B.由(a－c)·(b－c)≤0，a·b＝0，得a·c＋b·c≥c2＝1，∴(a＋b－c)2＝1＋1＋1－2(a·c＋b·c)≤1.∴

27、a＋b－c

28、≤1.4．已知点A(1,1)，B(1，－1)，C(cosθ，sinθ)(θ∈R)

29、，O为坐标原点．(1)若

30、－

31、＝，求sin2θ的值；(2)若实数m，n满足m＋n＝，求(m－3)2＋n2的最大值．解：(1)∵

32、－

33、2＝

34、

35、2＝(cosθ－1)2＋(sinθ－1)2＝－2(sinθ＋cosθ)＋4，∴－2(sinθ＋cosθ)＋4＝2.即sinθ＋cosθ＝.两边平方，得1＋sin2θ＝，∴sin2θ＝－.(2)由已知，得(m，m)＋(n，－n)＝(cosθ，sinθ)，∴解得∴(m－3)2＋n2＝m2＋n2－6m＋9＝－3(sinθ＋cosθ)＋105＝－6sin(θ＋)＋10.∴当sin(θ＋)

36、＝－1时，(m－3)2＋n2取得最大值16.一、选择题1．(2010·高考湖南卷)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于(　　)A．－16　　　　　　　　　　B．－8C．8D．16解析：选D.如图，·＝(＋)·＝2＋·＝42＋0＝16.2．若向量1＝(2,2)，2＝(－2,3)分别表示两个力F1与F2，则

37、F1＋F2

38、为(　　)A．2.5B．4C．2D．5解析：选D.∵F1＋F2＝(2,2)＋(－2,3)＝(0,5)，∴

39、F1＋F2

40、＝＝5.3．(2012·辽阳调研)已知向量a＝(2,3)，b＝(－5，－

41、1)，若ma＋nb(m≠0)与a垂直，则等于(　　)A．－1B．0C．1D．2解析：选C.∵(ma＋nb)·a＝0，∴(2m－5n,3m－n)·(2,3)＝4m－10n＋9m－3n＝0，∴＝1，故选C.4．已知向量a与b的夹角为120°，且

42、a

43、＝3，

44、a＋b

45、＝，则

46、b

47、等于(　　)A．4B．3C．2D．1解析：选A.∵

48、a

49、＝3，

50、a＋b

51、＝，∴

52、a

53、2＋2a·b＋

54、b

55、2＝13.∴9＋2×3

56、b

57、cos120°＋

58、b

59、2＝13.∴

60、b

61、2－3

62、b

63、－4＝0.∴

64、b

65、＝4或

66、b

67、＝－1(舍去)．∴

68、b

69、＝4.5．

70、在△ABC中，(＋)·＝

71、

72、2，则三角形ABC的形状一定是(　　)A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：选C.由(＋)·＝

73、

74、2，得·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0，∴·2＝0，∴⊥，∴∠A＝90°.故选C.二、填空题56．(2011·高考天津卷)已知向量a、b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且

75、a

76、＝1，

77、b

78、＝2，则a与b的夹角为________．解析：由(a＋2b)·(a－b)＝－6得a2－2b2＋a·b＝－6.∵

79、a

80、＝1，

81、b

82、＝2，∴12－2×22＋1×2×cos〈a，b〉

83、＝－6，∴cos〈a，b〉＝.∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.答案：7．(2011·高考安徽卷)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则

84、＋3

85、的最小值为________．解析：法一：以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x.∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，＝(2，－x)，＝(1，a－x)，∴＋3＝(5,3a－4x)，

86、＋3

87、2＝25＋(3a－4x)2≥25

88、，∴

89、＋3

90、的最小值为5.法二：设＝x(0

91、＋3

92、2＝2＋2××(3－4x)·＋(3－4x)2·2＝25＋(3－4x)22≥25，∴

93、＋3

94、的最小值为5.答案：58．(2011·高考湖南卷)在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________.解析