2013届高中数学二轮总复习 综合训练(五) 理 新课标(湖南专用).doc

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1、2013届高中数学二轮总复习综合训练(五)理新课标(湖南专用)时量:50分钟   满分:50分解答题:本大题共4小题,第1,2,3小题各12分,第4小题14分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 1.已知向量a=(sin2x,cos2x),b=(cos2x,-cos2x).(1)若x∈(,),a·b+=-,求cos4x的值;(2)设△ABC的三边a,b,c满足b2=ac,且边b所对应的角为x,若关于x的方程a·b+=m有且仅有一个实数根,求实数m的值.解析:由已知a·b=sin2xcos2x-cos22x=sin4x-(1+cos4x)=sin(4x-)-.(1)由a·b+=-,得s

2、in(4x-)=-.又

3、8094926567物理成绩81829390637287917158(1)根据上表完成下面的2×2列联表:数学成绩优秀数学成绩不优秀合计物理成-4-绩优秀物理成绩不优秀合计(2)根据题(1)中表格的数据计算,有多少把握认为同学的数学成绩与物理成绩有关系?(3)约定:数学成绩70分(不包含70分)以下为成绩一般,70分到89分为成绩中档,90分(包含90分)以上为成绩优秀,分别以样本中上述三档成绩的平均分为总体的平均分,请估计该班数学的平均成绩.附:K2=,P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解析:(1)数学成绩优秀数学成绩不优秀合计物理成绩优秀40

4、4物理成绩不优秀066合计4610(2)由于K2==10>6.635.故有99%的把握认为数学成绩与物理成绩有关系.(3)由题设,可设成绩一般,成绩中档,成绩优秀的平均分分别为ξ1,ξ2,ξ3,且ξ1==66,ξ2==77.5,ξ3==94.75,而平均成绩的分布列为ξ6677.594.75P  Eξ=66×+77.5×+94.75×=82.1.由此估计该班数学平均成绩为82.1分. 3.如图,已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC,∠BAC=∠ACD=90°,∠EAC=60°,AB=AC=AE.(1)在直线BC上是否存在一点P,使得DP∥平面EAB?请证明你的结论;(2)求平面E

5、BD与平面ABC所成的锐二面角θ的余弦值.解析:(1)线段BC的中点就是满足条件的P.证明如下:取AB的中点F,连接DP,PF,EF,-4-则FP∥AC,FP=AC.取AC的中点M,连接EM,EC.因为AE=AC且∠EAC=60°,所以△EAC是正三角形,所以EM⊥AC,所以四边形EMCD为矩形,所以ED=MC=AC.又因为ED∥AC,ED∥FP且ED=FP,所以四边形EFPD是平行四边形.所以DP∥EF,而EF⊂平面EAB,DP⊄平面EAB,所以DP∥平面EAB.(2)方法1:过B作AC的平行线l,过C作l的垂线交l于G,连接DG.因为ED∥AC,所以ED∥l,l是平面EBD与平面ABC

6、所成二面角的棱.因为平面EAC⊥平面ABC,DC⊥AC,所以DC⊥平面ABC,又因为l⊂平面ABC,所以DC⊥l,所以l⊥平面DGC,所以l⊥DG,所以∠DGC是所求二面角D-BG-C的平面角.设AB=AC=AE=2a,则CD=a,GC=2a,所以GD==a,所以cosθ=cos∠DGC==.方法2:因为∠BAC=90°,平面EACD⊥平面ABC,所以以点A为原点,直线AB为x轴,直线AC为y轴,建立空间直角坐标系A-xyz,则z轴在平面EACD内(如图).设AB=AC=AE=2a,由已知,得B(2a,0,0),E(0,a,a),D(0,2a,a).所以=(2a,-a,-a),=(0,a,

7、0),设平面EBD的法向量为n=(x,y,z),则n⊥且n⊥,所以,所以,取z=2,得平面EBD的一个法向量为n=(,0,2).又因为平面ABC的一个法向量为n′=(0,0,1).-4-cosθ=

8、cos〈n,n′〉

9、==. 4.某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地,地方政府准备在此建一个综合性休闲广场,首先要建设如图所示的一个矩形场地,其总面积为3000m2,其中场地四周(阴影部分)为通道,通道宽度均

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