2013年高考数学 热点专题专练 11-29坐标系与参数方程 理.doc

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1、高考专题训练(二十九)　坐标系与参数方程(选修4－4)时间：45分钟　分值：100分一、填空题(每小题6分，共30分)1．(2012·安徽)在极坐标系中，圆ρ＝4sinθ的圆心到直线θ＝(ρ∈R)的距离是________．解析　圆ρ＝4sinθ，即ρ2＝4ρsinθ化为直角坐标为x2＋(y－2)2＝4，直线θ＝的斜率tanθ＝tan＝，直线方程为y＝x，圆心到直线的距离为d＝＝.答案　2．(2011·湖北)如图，直角坐标系xOy所在的平面为α，直角坐标系x′Oy′(其中y′轴与y轴重合)所在平面为β，∠x

2、Ox′＝45°.(1)已知平面β内有一点P′(2，2)，则点P′在平面α内的射影P的坐标为________；(2)已知平面β内的曲线C′的方程是(x′－)2＋2y′2－2＝0，则曲线C′在平面α内的射影C的方程是________．解析　(1)如图P′(2，2)，过点P′作P′P⊥α，垂足为P，PM⊥y轴，则∠P′MP＝∠x′Ox＝45°.-8-设在α上坐标P(x，y)，又MP′＝2，x＝2cos45°＝2×＝2，y＝2，∴P(2,2)．(2)β内曲线C′的方程＋y′2＝1.同上解法．中心(1,0)，即投影

3、后变成圆(x－1)2＋y2＝1.答案　(1)P(2,2)　(2)(x－1)2＋y2＝13．已知点P是曲线C：(θ为参数，0≤θ≤π)上一点，O为原点．若直线OP的倾斜角为，则点P坐标为________．解析　由(0≤θ≤π)可得＋＝1(0≤y≤4)，由于直线OP的方程为y＝x，那么由⇒答案　4．(2012·北京)直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为________．解析　直线转化为一般方程为x＋y－1＝0，曲线转化为一般方程为x2＋y2＝9，而圆的圆心到直线的距离d＝＝

4、点个数为2.答案　2-8-5．(2012·陕西)直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长为________．解析　把直线与圆的极坐标方程都化为普通方程为：2x＝1，(x－1)2＋y2＝1，把x＝代入(x－1)2＋y2＝1，得y＝±，则直线与圆相交的弦长为.答案　二、解答题(每小题7分，共70分)6．已知曲线C1：(θ为参数)，曲线C2：(t为参数)．(1)指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；(2)若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1′，C2′.写出

5、C1′，C2′的参数方程．C1′与C2′公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由．解　(1)C1是圆，C2是直线．C1的普通方程为x2＋y2＝1，圆心为(0,0)，半径r＝1.C2的普通方程为x－y＋＝0.因为圆心(0,0)到直线x－y＋＝0的距离为1，所以C2与C1只有一个公共点．(2)压缩后的参数方程分别为C1′：(θ为参数)，C2′：(t为参数)．化为普通方程分别为C1′：x2＋4y2＝1，C2′：y＝x＋，联立消元得2x2＋2x＋1＝0，其判别式Δ＝(2)2－4×2×1＝0，所以

6、压缩后的直线C2′与椭圆C1′仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点的个数相同．7．已知直线l：与抛物线y＝x2交于A，B两点，求线段AB的长．解　把代入y＝x2，得t2＋t－2＝0，∴t1＋t2＝－，t1t2＝－2.由参数的几何意义，得

7、AB

8、＝＝.8．(2011·福建)在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；(2)设

9、点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．-8-解　(1)把极坐标系下的点P化为直角坐标系，得P(0,4)．因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cosα，sinα)，从而点Q到直线l的距离为：d＝＝＝cos＋2，由此得，当cos＝－1时，d取得最小值，且最小值为.9．已知曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋6＝0，求：(1)曲线C的普通方程；(2)设点P(x，y)是曲线C上任意一点，求xy的最大值和最小

10、值．解　(1)原方程可化为ρ2－4ρ＋6＝0，即ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋6＝0.∵∴x2＋y2－4x－4y＋6＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝2，此方程即为所求普通方程．(2)设＝cosθ，＝sinθ，则xy＝(2＋cosθ)(2＋sinθ)＝4＋2(cosθ＋sinθ)＋2cosθsinθ.设t＝cosθ＋sinθ，则t＝sin，∴t∈[－，]，t2＝1＋2cosθsinθ，从而2cosθsinθ＝t2－1.∴