2014届高三数学一轮复习 （教材回扣 考点分类 课堂内外 限时训练）专讲专练 3.4　定积分与微积分基本定理.doc

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1、2014届高三数学一轮复习专讲专练（教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）：3.4　定积分与微积分基本定理一、选择题1．(2013·山东冲刺)求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是(　　)A．S＝(x2－x)dx　　　　B．S＝(x－x2)dxC．S＝(y2－1)dyD．S＝(y－)dy解析：两函数图像的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积S＝(x－x2)dx.答案：B2．(2013·武汉调研)由直线x＝－，曲线y＝cosx及x轴、y轴所围图形的面积为(　　)A.B.C.D.解析：四

2、线围成的面积为S＝－cosxdx＝sinx0－＝.答案：D3．(2013·黄冈检测)如图所示，图中曲线方程为y＝x2－1，用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是(　　)A.B.(x2－1)dxC.

3、x2－1

4、dx6D.(x2－1)dx＋(x2－1)dx解析：所求面积为(1－x2)dx＋(x2－1)dx＝

5、x2－1

6、dx.答案：C4．(2013·河南联考)已知f(x)＝2－

7、x

8、，则f(x)dx等于(　　)A．3B．4C．3.5D．4.5解析：f(x)＝2－

9、x

10、＝f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＝(2＋x)dx＋(2－x)dx＝＋＝3.5.答案：C5．(2012·湖北)已知二

11、次函数y＝f(x)的图像如图所示，则它与x轴所围图形的面积为(　　)A.B.C.D.解析：设f(x)＝a(x－1)(x＋1)，将x＝0，y＝1代入f(x)得a＝－1，所以f(x)＝－(x－1)(x＋1)＝1－x2，所以S＝－1(1－x2)dx＝＝.答案：B6．(2013·武汉调研)如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y＝(x＞0)图像下方的区域(阴影部分)，从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为(　　)6A.B.C.D.解析：函数y＝(x＞0)图像与y＝2的交点坐标为答案：C二、填空题7．(2012·江西)计算定积分(x2＋sinx)dx＝__________

12、.解析：(x2＋sinx)dx＝＝.答案：8．(2012·山东)设a＞0.若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.解析：S＝dx＝x

13、＝a＝a2⇒a＝.6答案：9．(2012·上海)已知函数y＝f(x)的图像是折线段ABC，其中A(0,0)、B、C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图像与x轴围成的图形的面积为__________．解析：设直线为y＝kx＋b，代入A，B两点，∴y＝10x.代入B，C两点，则∴k＝－10，b＝10.∴f(x)＝∴y＝xf(x)＝答案：三、解答题10．若f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝

14、，求dx的值．解析：∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)．由(ax＋b)dx＝5，得＝a＋b＝5.①由xf(x)dx＝，得(ax2＋bx)dx＝.即＝.∴a＋b＝.②解①②，得a＝4，b＝3.∴f(x)＝4x＋3.于是dx＝dx＝(4＋)dx＝(4x＋3lnx)

15、＝8＋3ln2－4＝4＋3ln2.11．(2013·日照调研)如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．6解析：抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标x1＝0，x2＝1，所以抛物线与x轴所围图形的面积S＝(x－x2)dx＝＝－＝.又可得抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横

16、坐标为x′1＝0，x′2＝1－k，所以＝∫(x－x2－kx)dx＝＝(1－k)3.又知S＝，所以(1－k)3＝.于是k＝1－＝1－.12．设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx在点x＝1处有极值－2.(1)求常数a、b的值；(2)求曲线y＝f(x)与x轴所围成的图形的面积．解析：(1)由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f(1)＝－2，且f′(1)＝0，即解得(2)由(1)可知，f(x)＝x3－3x.作出曲线y＝x3－3x的草图如图，6所求面积为阴影部分的面积，由x3－3x＝0得曲线y＝x3－3x与x轴的交点坐标是(－，0)，(0,0)和(，0)，而y＝x3－3x是R上的奇函数，所以函数

17、图像关于原点成中心对称．所以所求图形的面积为6