高二数学 第二章 第3节 双曲线(理)知识精讲 人教实验B版选修2-1.doc

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1、高二数学第二章第3节双曲线人教实验B版(理)选修2-1【本讲教育信息】一、教学内容:选修2-1:双曲线二、教学目标:1、掌握双曲线的定义,标准方程,能根据条件利用待定系数法求双曲线方程,掌握双曲线的几何性质,了解双曲线的初步应用。2、了解双曲线的参数方程,能根据方程讨论双曲线的性质,掌握直线与双曲线位置关系的判断方法,能够正确熟练地解决直线和双曲线的位置关系的一些问题。三、知识要点分析:(一)双曲线的定义双曲线的定义:平面内与两定点F1,F2距离的差的绝对值等于定长2a(小于

2、FF

3、)的点的轨迹叫双曲线,即

4、

5、PF

6、

7、-

8、PF

9、

10、=2a(2a<

11、FF

12、)。此定义中,“绝对值”与2a<

13、FF

14、,不可忽视。若2a=

15、FF

16、,则轨迹是以F,F为端点的两条射线,若2a﹥

17、FF

18、,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。(二)双曲线的标准方程及几何性质1、标准方程是指中心在原点,坐标轴为对称轴的标准位置的双曲线方程中心在原点,焦点在轴上中心在原点,焦点在轴上标准方程图形顶点对称轴轴,轴;虚轴为,实轴为焦点焦距离心率(离心率越大,开口越大)准线12用心爱心专心渐近线焦准距2、判断椭圆方程中焦点位置的不同,是通过比较x,y系

19、数的大小,而双曲线是看x,y的系数的正负号,焦点在系数为正的坐标轴上,简称为“焦点在轴看正号”3、共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线。=1与=1互为共轭双曲线,其性质如下:(1)双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线。(2)双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距。(3)与=1具有相同渐近线的双曲线系方程为=k(k≠0)4、如果双曲线的渐近线为时,它的双曲线方程可设为.5、等轴双曲线:实轴与虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线,其渐近线方程为,离心率。6、弦长公式:(1)过焦点的弦长:

20、

21、AB

22、=e(d+d),(2)一般的弦长公式:类似于椭圆,x,x分别为弦PQ的横坐标,弦PQ所在的直线方程为y=kx+b,代入双曲线方程整理得Ax+Bx+C=0,则=,若y,y分别为弦PQ的纵坐标,则=,【典型例题】例1.求中心在原点,对称轴为坐标轴,且满足下列条件的双曲线方程:(3)双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(4)与双曲线x2-2y2=2有共同的渐近线,且经过点(2,-2)(5)过点P(2,-1),渐近线方程是y=±3x.解:(1)设双曲线方程为mx2+ny2=1,①12用心爱心专心于是,设所求双曲线方程

23、为①或②把代入①,得与k>0矛盾,无解;把代入②,得k=9,故所求双曲线方程为。说明:本例解法是待定系数法:(1)中设法叫“统设”,由此可知,统设方程mx2+ny2=1可以代表椭圆、双曲线这两种标准方程;(2)中设法叫“分设”,因由离心率的条件不能区分实轴在x轴上还是在y轴上,故分别设出两种方程.(3)设双曲线方程为由已知得故双曲线C的方程为(4)设所求双曲线方程为x2-2y2=k,①由于双曲线过点(2,-2),将(2,-2)代入①,得k=22-2·(-2)2=-4.故所求双曲线方程为x2-2y2=-4,即2y2-x

24、2=4.说明:容易证明,因此,如果已知上述各种形式的渐近线方程,则可统设双曲线方程为,其中k的符号调节实轴位置,︱k︱调节轴长。(5)分析:首先要确定所求双曲线的标准类型,可在图中判断一下点P(2,-1)在渐近线y=-3x的上方还是下方?如图所示,x=2与y=-3x交点为Q(2,-6),P(2,-1)在Q(2,-6)的上方,所以焦点在x轴上.方法一:设双曲线方程为.依题意,得12用心爱心专心解得∴所求双曲线方程为方法二:由渐近线方程3x±y=0,可设所求双曲线方程为(λ≠0)(*)将点P(2,-1)的坐标代入(*),

25、得λ=35∴所求的双曲线方程为例2.直线L:与曲线有两个不同的交点,(1)求a的取值范围(2)设交点为A,B,若以AB为直径的圆恰过原点,求a的值。解:(1)由方程组可得,依题意,方程有两个实根,则即解得故a的取值范围是(2)设A(),B(),由题意可得OA⊥OB(O是坐标原点),则有而=,由(1)可知代入上式可得解得,且满足(1)的条件,故a的值为。反思:直线和曲线的交点问题即是由它们的方程12用心爱心专心组成的方程组的解的问题,而方程组的解往往转化为一元二次方程的解,因此讨论一元二次方程的根的方法要非常熟练。其基

26、本步骤应为:①观察二次项系数,看是否需要讨论;②分析判别式,看是否有根;③应用韦达定理,虽不解方程却能观察根的情况。解题时要始终遵循以上原则,养成良好的思维习惯,为后面解决直线与圆锥曲线位置关系的问题打下坚实的基础,同时要逐步培养含字母的解析式的运算能力。例3.设双曲线的顶点是椭圆的焦点,该双曲线又与直线交于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原

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