高二数学 第二章 第1节 曲线与方程知识精讲 理 人教实验B版选修2－1.doc

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1、高二数学第二章第1节曲线与方程知识精讲理人教实验B版选修2－1【本讲教育信息】一、教学内容：选修2－1曲线与方程二、教学目标：了解解析几何的基本思想，了解坐标法研究几何问题的方法；掌握用几种重要的方法求曲线的方程的方法和步骤。三、知识要点分析：1、求曲线方程的步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件p的点M的集合P={M︱p（M）}；（3）用坐标表示条件p（M），列出方程f（x，y）=0；（4）化方程f（x，y）=0为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为

2、坐标的点都在曲线上。2、求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、待定系数法、参数法、交轨法。（1）直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，即直接通过建立x、y之间的关系，构成f（x，y）＝0，此法是求轨迹的最基本的方法。（2）定义法：运用解析几何中一些常用定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系，从而求出轨迹方程。注：①用定义法求曲线方程，灵活运用题设重要条件，确定动点满足的等量关系，结合圆锥曲线定义确

3、定方程的类型。②步骤：列出等量关系式；由等式的几何意义，结合圆锥曲线的定义确定轨迹的形状；写出方程。③利用“定义法”求轨迹方程的关键：找出动点满足的等量关系。（3）代入法（相关点法或转移法）：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成的轨迹的动点P（x，y）却随着另一动点Q（x1，y1）的运动而有规律地运动，且动点Q的轨迹为已给定或容易求得，则可先将x1、y1表示为x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程。（4）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由

4、条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；（5）参数法：当动点P（x，y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程（6）交轨法：求两动曲线交点的轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程。要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念，若是求轨迹则不仅要求出方程，而且还需说明和讨论所求轨迹是什么样的图形、在何处，即图形的形状、位置、大小都需说明及讨论清楚

5、。9【典型例题】例1.已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数λ，求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线解：建立坐标系如图所示，设

6、AB

7、=2a，则A（－a，0），B（a，0）.设M（x，y）是轨迹上任意一点.则由题设，得=λ，代入坐标，得=λ，化简得（1－λ2）x2+（1－λ2）y2+2a（1+λ2）x+（1－λ2）a2=0（1）当λ=1时，即

8、MA

9、=

10、MB

11、时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线（y轴）.（2）当λ≠1时，点M的轨迹方程是x2+y2+x+a2=0，点M的轨迹是以（－，0）为圆心

12、，为半径的圆.感悟：本题所用的方法是直接法，在所求得的曲线方程中含参数，应通过对参数的讨论来说明轨迹的类型，即是什么曲线，它的位置，形状，大小如何，此题易忽视讨论λ=1的情况。建立适当的坐标系，用直接法求得轨迹方程，再由λ值的变化讨论方程所表示的曲线。例2.如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程。命题意图：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程：错解分析：欲求Q的轨迹方程，应先求R的轨迹方程，若学生思考不深刻，发

13、现不了问题的实质，很难解决此题.技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.解：设AB的中点为R，坐标为（x，y），则在Rt△ABP中，

14、AR

15、=

16、PR

17、9又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，

18、AR

19、2=

20、AO

21、2－

22、OR

23、2=36－（x2+y2）又

24、AR

25、=

26、PR

27、=所以有（x－4）2+y2=36－（x2+y2），即x2+y2－4x－10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的

28、轨迹上运动.设Q（x，y），R（x1，y1），因为R是PQ的中点，所以x1=，代入方程x2+y2－4x－10=0，得－10=0整理得：x2+y2=56，这就是所求的顶点Q的轨迹方程.例3.已知圆x2+y2=16，A（2，0），若P，Q是圆上的动点，且，求PQ中点的轨迹方程。解：设PQ中点M的坐标为（x，y），由已知圆的参数方程，可设，，…………（1）又，，，