高二数学 §2.1.3不等式的证明(3)学案 新人教A版选修4-5.doc

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1、§2.1.3不等式的的证明(3)☆学习目标：1.理解并掌握反证法、换元法与放缩法;2.会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式☻知识情景：1.不等式证明的基本方法：10.比差法与比商法(两正数时)．20.综合法和分析法．30.反证法、换元法、放缩法2.综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,通过逻辑推理,推导出所要证明的结论.这种证明方法叫做综合法.又叫由导法.用综合法证明不等式的逻辑关系：3.分析法：从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义

2、、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法.这是一种执索的思考和证明方法.用分析法证明不等式的逻辑关系：☻新知建构：1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步作出与所证不等式相反的假定；第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立.例1已知+b+c>0，b+bc+c>0，bc>0，求证：,b,c>0.2.换元法：一般由代数式的整体换

3、元、三角换元，换元时要注意等价性.常用的换元有三角换元有：10．已知，可设，；20．已知，可设，()；30．已知，可设，.例2设实数满足，当时，的取值范围是（）例3已知，求证：-7-3.放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度.常用的方法是：①添加或舍去一些项，如：，，②将分子或分母放大（或缩小）如：③应用“糖水不等式”：“若，，则”④利用基本不等式，如：；⑤利用函数的单调性⑥利用函数的有界性：如：≤；⑦绝对值不等式：≤≤；⑧利用常用结论：如：，⑨应用贝努

4、利不等式：例4当n>2时，求证：例5求证：例6若a,b,c,dÎR+，求证：-7-选修4-5练习§2.1.3不等式的证明(3)姓名1、设二次函数，求证：中至少有一个不小于.2、设00，且x+y>2，则和中至少有一个小于2。5、已知≤≤，求证：≤≤6、设，，求证：；-7-7、求证：8、求证9、设为大于1的自然数，求证10、若是自然数，求证11、求证：≥12、求证：-7-参考答案:例1例2例3放缩法

5、：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度。常用的方法是：①添加或舍去一些项，如：，，②将分子或分母放大（或缩小）③真分数的性质：“若，，则”④利用基本不等式，如：；⑤利用函数的单调性⑥利用函数的有界性：如：≤；≥；⑦利用常用结论：Ⅰ、，Ⅱ、；（程度大）Ⅲ、；（程度小）⑧绝对值不等式：≤≤；⑨应用二项式定理.构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式.贝努利不等式例如，对于任何和任何正整数，由牛顿二项式定理可得舍掉等式右边第三项及其以后的各项，可

6、以得到不等式：.-7-在后面章节的学习中，我们将会用数学归纳法证明这一不等式的正确性。该不等式不仅当是正整数的时候成立，而且当是任何大于1的有理数的时候也成立。这就是著名的贝努利不等式。在今后的学习中,可以利用微积分证明更一般的贝努利不等式：设，则在或时，，在时，例4证：∵n>2∴∴∴n>2时,例5证明：由（是大于2的自然数）得例6证：记m=∵a,b,c,dÎR+∴∴1

7、的结论正确。注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？-7-2、证：设(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>,则三式相乘：ab<(1-a)b•(1-b)c•(1-c)a<①又∵0

8、(1-c)c≤与①矛盾.∴原式成立4提示：反设≥2，≥2∵x,y>0，可得x+y≤2与x+y>2矛盾。10证明：==注意：实际上，我们在证明的过程中，已经得到一个更强的结论，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。-7-