高二数学第56课 直线与椭圆教案.doc

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1、第56课直线与椭圆●考试目标主词填空1.椭圆的定义与方程①椭圆的第一定义：已知F1，F2是平面内两个定点，P是动点，当且仅当它们满足条件

2、PF1

3、+

4、PF2

5、=定长2a且2a>

6、F1F2

7、时，P的轨迹是椭圆.②椭圆的第二定义：设F为定点，l是定直线，P是动点，P、F及l共面，当且仅当它们满足条件时，P的轨迹是椭圆.③中心在原点，焦点在x轴上的椭圆方程是，中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程是.2.椭圆的几何性质对椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)而言，其范围是x∈［-a，a］y∈［-b，b］，关于坐标轴

8、和原点对称，顶点坐标是(±a，0)，(0，±b)，离心率e=准线方程是.3.点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)在椭圆内部的充要条件是；在椭圆外部的充要条件是；在椭圆上的充要条件是.4.直线与椭圆的位置关系.设直线l：Ax+By+C=0，椭圆C：，联立l与C，消去某一变量(x或y)得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为Δ，则l与C相离的Δ<0；l与C相切Δ=0；l与C相交于不同两点Δ>0.5.椭圆方程的确定求椭圆方程，若中心和对称轴已知，则在a、b、c中只须确定两个，因a2=b2+c2常用的方法是列

9、方程组，解方程组，从而确定系数a、b、c.6.弦长计算计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)

10、P1P2

11、==f(k)形式(利用根与系数关系转化).●题型示例点津归纳【例1】根据下列条件求椭圆的标准方程：用心爱心专心(1)两准线间的距离是；(2)和椭圆共准线，且离心率为；(3)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点.【解前点津】(1)先根据条件选择适当形式的标准方程，然后建立关于a，b，c的方程组确

12、定系数a，b，c；(2)对给定椭圆上一点与两焦点，可用第一定义求椭圆的方程；(3)对于给定椭圆上一点及一焦点及相应准线用第二定义求椭圆方程.【规范解答】(1)设椭圆长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，则2①，2c=2②，a2=b2+c2③解由①②③构成的方程组得：a=3，b=2.故所求椭圆方程为.(2)设椭圆方程为：(a>0，b>0)，则其准线为x=±12，所以：.故所求椭圆方程为.(3)由2a=

13、PF1

14、+

15、PF2

16、=2，∴a=，由，故所求椭圆方程为.【解后归纳】求椭圆的方程，一是选择恰当的形式，二是利用其几何性

17、质，然后列出方程组，通过解方程组确定系数.【例2】已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，

18、PQ

19、=，求椭圆方程.用心爱心专心【解前点津】由题设条件，不能确定焦点是在x轴，还是在y轴上，且对于a、b、c的关系条件未作定性说明，故可设椭圆方程为：mx2+ny2=1(m>0，n>0)简便.【规范解答】设椭圆方程为：mx2+ny2=1(m>0，n>0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由中消去y并依x聚项整理得：(m+n)·x2+2nx+(n-1)=0，Δ=4n2-4

20、(m+n)·(n-1)>0，即m+n-mn>0，OP⊥OQ等价于x1x2+y1y2=0，将y1=x1+1，y2=x2+1代入得：2x1x2+(x1+x2)+1=0，∴①又

21、PQ

22、=＝②联立①②并解之得：经检验这两组解都满足Δ>0，故所求椭圆方程为x2+3y2=2或3x2+y2=2.【解后归纳】中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆方程可用统一形式：mx2+ny2=1(m>0，n>0)，m与n的大小关系，决定了焦点位置.【例3】设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P(0，)到这个椭圆上的点的最远距离是，求这

23、个椭圆的方程.【解前点津】由条件，可将椭圆标准方程用含一个参数的形式表示，将“最远距离”转化为二次函数的最值.【规范解答】由e=可推出a=2b，于是可设椭圆方程为：，即有x2=4b2-4y2.设M(x，y)是椭圆上任意一点，且-b≤y≤b，∴

24、PM

25、2=-3(y+)2+4b2+3，由于y∈［-b，b］，于是转化为在闭区间［-b，b］，求二次函数的最值.当b<时，y=-b，

26、PM

27、2有最大值b2+3b+，令b2+3b+=()2，解得b=-，舍去.当b≥时，取y=-知

28、PM

29、2有最大值4b2+3，令4b2+3=()2解得：

30、b=1，a用心爱心专心=2，故所求方程为：.【解后归纳】这是一道解析几何与函数的综合题，其知识的交汇点及“等价转化”的数学思想，是必须“关注”的.【例4】设椭圆方程为，过原点且倾斜角为θ和π-θ(0<θ<)的两条直线分别交椭圆于A、C和B、D两点.(1)用θ表示四边形ABCD的面积；(2)当θ∈(0，)时，求S的最大值.【解前点