高二数学理寒假专题——向量人教实验B版知识精讲.doc

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1、高二数学理寒假专题——向量人教实验B版知识精讲【本讲教育信息】一、教学内容：向量二、教学目标：1、通过复习，掌握基本内容，基本方法，应用这些知识解决空间向量的坐标及运算。2、熟练掌握向量的应用，尤其是求夹角、求距离.三、知识要点分析：1．空间向量的概念向量：在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。2．向量的运算律3．平行向量（共线向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作∥。注意：当我们说、共线时，对应的有向

2、线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时，也具有同样的意义。共线向量定理：对空间任意两个向量（≠）、，∥的充要条件是存在实数使＝注：（1）上述定理包含两个方面：①性质定理：若∥（≠），则有＝，其中是唯一确定的实数。②判断定理：若存在唯一实数，使＝（≠），则有∥（若用此结论判断、所在直线平行，还需（或）上有一点不在（或）上）。（2）对于确定的和，＝表示空间与平行或共线，长度为

3、

4、，当>0时与同向，当<0时与反向的所有向量（3）若直线l∥，，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式。推论：如果l为经过

5、已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式。①其中向量叫做直线l的方向向量在l上取，则①式可化为②当时，点P是线段AB的中点，则③[来源:学科网ZXXK]注意：推论的用途：解决三点共线问题。结合三角形法则记忆方程。4．向量与平面平行：如果表示向量的有向线段所在直线与平面平行或在平面内，我们就说向量平行于平面，记作∥。共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。共面向量定理：如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在实数对x、y，使推论：空间一点P位于平面MAB内的充

6、要条件是存在有序实数对x、y，使④或对空间任一定点O，有⑤又∵，代入⑤，整理得⑥由于对于空间任意一点P，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内；对于平面MAB内的任意一点P，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量、（或不共线的三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件。5．空间向量基本定理：如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组（x，y，z），使说明：（1）由上述定理知，如果三个向量、、不共面，那么所有空间向

7、量所组成的集合就是，这个集合可看作由向量、、生成的，所以我们把{，，}叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量；（2）空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；（4）由于可视为与任意非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是。6．数量积向量的数量积：叫做向量、的数量积，记作。即=，向量：性质与运算律7．利用向量处理平行问题　　空间图形的平行关系包括直线与直线的平行，直线与平面的平行，平面与平面的平行，它们都可以用

8、向量方法来研究。方法如下：（1）设是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为，那么。根据实数与向量积的定义：。（2）平面与平面平行可以转化为两个平面的法向量平行：设两个不重合的平面的法向量分别为，那么。（3）直线与平面平行可以转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直：设直线在平面外，是的一个方向向量，是平面的一个法向量，那么。（4）平面表示以为方向向量的直线与向量平行或在平面内，因此也可以由共面向量定理证明线面平行问题。8．利用向量处理垂直问题　空间的线线、线面、面面垂直关系，都可以转化为空间内两个向量垂直的问题来解决。（1）设分别为直线的一个

9、方向向量，那么；（2）设分别为平面的一个法向量，那么；（3）设直线的方向向量为，平面的法向量为，那么。9．利用向量处理角度问题在立体几何中，涉及的角有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等。关于角的计算，均可归结为两个向量的夹角。对于空间向量，有，利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中的角的问题。　　求异面直线所成的角的关键在于求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，可以求两向量的坐标，也可以把所求向量用一组基向量表示，两向量的夹角范围是，而两异面直线所成角的范围是，应注意加以区分。[来源:学,科,网]　　直线与平面

10、的夹角，是直线的方向向量与平面的法向量的夹角（锐角）的余角，故有：。设分别是二面角的面的法向量，则＜＞就是所求二面角的平面角或其补角的大小。10．利用向量处理距离问题　　立体几何