高二数学随机变量的数字特征；正态分布人教实验版（B）知识精讲.doc

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1、高二数学随机变量的数字特征；正态分布人教实验版（B）【本讲教育信息】一.教学内容：2.3随机变量的数字特征2.4正态分布二.教学目的1、能够求出随机变量的分布列，并利用分布列求出随机变量的均值和方差，能解决简单实际问题。2、掌握正态分布的性质，能够计算有关概率值；了解假设检验的思想。三.教学重点、难点利用分布列求出随机变量的均值和方差；正态分布的性质。四.知识分析1、离散型随机变量的均值一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称为随机变量X的均值或数学期

2、望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平。①若X为随机变量，Y=aX+b（其中a,b为常数），则Y也是随机变量，且有E（aX+b）=aE（X）+b②若X～B（n,p），则E（X）=np③期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均。④E（X）是一个实数，由X的分布列惟一确定．即作为随机变量X是可变的，可取不同值，而E（X）是不变的，它描述X取值的平均状态．⑤＋…直接给出了E（X）的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加．2、离散型随机变量的方差设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…x

3、i…xnPp1p2…pi…pn则[xi－E（X）]2描述了xi（i=1,2,…,n）相对于均值E（X）的偏离程度．而为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X用心爱心专心与其均值E（X）的偏离程度，我们称D（X）为随机变量X的方差，其算术平均根为随机变量X的标准差。记作．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差或标准差越小，则随机变量偏离均值的平均程度越小。设X为离散型随机变量，则（1）D（aX+b）＝a2D（X）（2）若X服从二点分布，则D（X）=p（1－p）（3）

4、若X～B（n，p），则D（X）=np（1－p）3、正态分布我们称，x∈R（其中是参数，且）为正态变量X的概率密度函数，其图象叫做正态分布密度曲线，简称正态曲线。期望为、标准差为的正态分布常记为。若X～，则X的均值与方差分别为：。参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数。是衡量随机变量总体波动大小的特征数．可以用样本标准差去估计．正态曲线的性质：（1）曲线在x轴上方，与x轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线对称；（3）曲线在处达到峰值；（4）当一定时，曲线随着的变化沿x轴平移；（5）当一定时，

5、曲线形状由确定，越小，曲线越瘦高。当时的正态分布叫做标准正态分布。一般来说，正态变量的取值在内的概率是68.3%，在内的概率是95.4%，在内的概率是99.7%。【典型例题】例1、某运动员投篮命中率p=0.6（1）求投篮一次时命中次数X的均值和方差；（2）求重复5次投篮时，命中次数Y的均值与方差。分析：（1）为两点分布的均值和方差（2）为二项分布的均值和方差。可利用公式求解。用心爱心专心解析：（1）投篮一次时命中次数X的分布列为：X01P0.40.6则（2）由题意，重复5次投篮时，命中次数Y服从

6、二项分布，即Y~B（5，0.6）于是，有点评：（1）投篮一次有两个结果：命中与未命中，因此X服从两点分布，用两点分布的均值及方差公式；（2）投篮、射击、抽样（大量）等问题，都是n次独立重复试验，其随机变量Y～B（n,p），利用二项分布的均值、方差公式即可。例2、甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．而两个保护区每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：X0123P0.30.30.20.2乙保护区：Y012P0.10.50.4试评定两个保护区

7、的管理水平。解析：甲保护区的违规次数X的数学期望和方差为乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差为因为，所以两个保护区内每季度发生的违规事件的平均次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散．点评：解决实际问题，要充分理解随机变量在实际问题中表示的意义，然后利用均值和方差的实际意义解决．用心爱心专心例3、若随机事件A在1次试验中发生的概率为P（0

8、最值问题，需要先将D（X），及表示出来，利用函数知识解决．解析：随机变量X的所有可能取值为0，1，并且有P（X=l）=p,P（X=0）=l－p．从而（i）当时，D（X）取得最大值，最大值为。（2），当且仅当，即时，取“=”。因此，当时，取得最大值。点评：本题将方差知识与函数联系起来，因此在求解过程中可以利用函数的性质及使用研究函数的方法．例4、（2003年辽宁20，天津理20）A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的