高考数学 考前最后一轮基础知识巩固之第三章 第8课 解三角形.doc

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1、第8课解三角形【考点导读】1.掌握正弦定理,余弦定理,并能运用正弦定理,余弦定理解斜三角形;2.解三角形的基本途径:根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理,然后通过化边为角或化角为边,实施边和角互化.【基础练习】1.在△ABC中,已知BC=12,A=60°,B=45°,则AC=    .2.在中,若,则的大小是______________.3.在中,若,,,则.4.在△ABC中,若,则△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形.5.在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为.6.△ABC中,a,b,c分别为

2、∠A,∠B,∠C的对边.如果a,b,c成等差数列,∠B=30°,△ABC的面积为,那么b=_____.【范例解析】例1.在△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,已知,,.(1)求的值;(2)求的值.分析:利用转化为边的关系.解:(1)由.(2)由得.由余弦定理得:,解得:或,若,则,得,即矛盾,故.点评:在解三角形时,应注意多解的情况,往往要分类讨论.例2.在三角形ABC中,已知,试判断该三角形的形状.分析一:边化角-5-解法一:由已知得:,化简得,由正弦定理得:,即,又,,.又,或,即该三角形为等腰三角

3、形或直角三角形.分析二:角化边解法二:同解法一得:,由正余弦定理得:,整理得:,即或,即该三角形为等腰三角形或直角三角形.点评:判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化,从而利用角或边判定三角形形状.例3.如图,已知△ABC是边长为1的正三角形,M,N分别是边AB、AC上的点,ABCNMGD例3线段MN经过△ABC的中心G,设ÐMGA=a().(1)试将△AGM、△AGN的面积(分别记为S1与S2)表示为a的函数;(2)求的最大值与最小值.分析:利用正弦定理建立目标函数.解:(1)因为G是边长为1的正三角形AB

4、C的中心,所以AG=,ÐMAG=,由正弦定理得则S1=GM·GA·sina=,同理可求得S2=.(2)==72(3+)因为,所以当a=或a=时,y取得最大值ymax=240;-5-当a=时,y取得最小值ymin=216.点评:本题关键是选取变量,建立目标函数,根据目标函数求最值.BDCαβA例4例4.如图,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=,∠ABC=.(1)证明:;(2)若AC=DC,求.分析:识别图中角之间的关系,从而建立等量关系.(1)证明:,,,(2)解:AC=DC,.,,.点评:本题重点

5、是从图中寻找到角之间的等量关系,从而建立三角函数关系,进而求出的值.【反馈演练】1.在中,则BC=_____________.2.的内角∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列,且,则_____.3.已知顶点的直角坐标分别为,,.若是钝角,则的取值范围___________.4.已知的三个内角A、B、C成等差数列,且AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为.5.在中,若,,则的形状是____等边___三角形.6.若的内角满足,则=.7.的三个内角为,则的最大值为.8.在中,已知,给出以下四个

6、论断:①;②;-5-③;④.其中正确的序号有______②④_____.9.如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值,给出下列结论:①和都是锐角三角形;②和都是钝角三角形;③是钝角三角形,是锐角三角形;④是锐角三角形,是钝角三角形.其中,正确结论的序号有____④_____.10.在中,已知,,.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的值.解:(Ⅰ)在中,,由正弦定理,.所以.(Ⅱ)因为,所以角为钝角,从而角为锐角,于是,,..11.在中,已知内角,边.设内角,周长为.(1)求函数的解析式和定义域;(2)求的最大值.解:(1)

7、的内角和,由得.应用正弦定理,知,-5-.因为,所以,(2)因为,所以,当,即时,取得最大值.12.在中,,.(Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)若最大边的边长为,求最小边的边长.解:(Ⅰ),.又,.(Ⅱ),边最大,即.又,角最小,边为最小边.由且,得.由得:.所以,最小边.-5-

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