高考数学 考前最后一轮基础知识巩固之第三章 第7课 三角函数的值域与最值.doc

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1、第7课三角函数的值域与最值【考点导读】1.掌握三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题；2.求三角函数值域与最值的常用方法：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法或图像法求解；（3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解；（4）换元法．【基础练习】1.函数在区间上的最小值为1．2.函数的最大值等于．3.函数且的值域是___________________．4.当时，函数的最小值为4．5.已知k＜－4，则函数y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是1．6.若，则的最大值与最小值之

2、和为____2____．【范例解析】例1.（1）已知，求的最大值与最小值．（2）求函数的最大值．分析：可化为二次函数求最值问题．解：（1）由已知得：，，则．，当时，有最小值；当时，有最小值．（2）设，则，则，当时，有最大值为．点评：第（1）小题利用消元法，第（2）小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题；但要注意变量的取值范围．-5-例2.求函数的最小值．分析：利用函数的有界性求解．解法一：原式可化为，得，即，故，解得或（舍），所以的最小值为．解法二：表示的是点与连线的斜率，其中点B在左半圆上，由图像知，当AB与半圆相切时，最小，此时，所以的最小值为．点评：解法一利用三角函数

3、的有界性求解；解法二从结构出发利用斜率公式，结合图像求解．例3.已知函数，．（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．分析：观察角，单角二次型，降次整理为形式．解：（Ⅰ）．又，，即，．（Ⅱ），，-5-且，，即的取值范围是．点评：第（Ⅱ）问属于恒成立问题，可以先去绝对值，利用参数分离转化为求最值问题．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．ABORSPQ例4例4．扇形的半径为1，中心角为，是扇形的内接矩形，问在怎样的位置时，矩形的面积最大，并求出最大值．分析：引入变量，建立目标函数．解：连接，设，则，

4、，．，，所以当时，在圆弧中心位置，．点评：合理引进参数，利用已知条件，结合图形建立面积与参数之间的函数关系式，这是解题的关键．【反馈演练】1．函数的最小值等于____－1_______．2．已知函数，，直线和它们分别交于M，N，则_________．3．当时，函数的最小值是______4_______．4．函数的最大值为_______，最小值为________.5．函数的值域为.6．已知函数，则的值域是.-5-7．已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等于_________．8．（1）已知，函数的最大值是_______.（2）已知，函数的最小值是____3___.9．在△OAB中

5、，O为坐标原点，，则当△OAB的面积达最大值时，_____________．10．已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．解：（Ⅰ）．因此，函数的最小正周期为．（Ⅱ）因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，，，故函数在区间上的最大值为，最小值为．11．若函数的最大值为，试确定常数a的值.解：-5-因为的最大值为的最大值为1，则所以12．已知函数．（1）若．求使为正值的的集合；（2）若关于的方程在内有实根，求实数的取值范围.解：（1）∵又∴（2）当时，∴则，∴∵方程有实根，得∴-5-