高考数学 考前最后一轮基础知识巩固之第九章 第2课 椭圆.doc

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1、第2课　椭圆【考点导读】1.掌握椭圆的第二定义,能熟练运用两个定义解决椭圆的有关问题;2.能解决椭圆有关的综合性问题.【基础练习】1.曲线与曲线的（D）A焦点相同B离心率相等C准线相同D焦距相等2.如果椭圆上的点A到右焦点的距离等于4,那么点A到两条准线的距离分别是3．椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是4离心率，一条准线为的椭圆的标准方程是5.设椭圆上一点P到左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足，则__2___【范例导析】例1.已知点A的坐标是(1,1)，F是椭圆的左焦点,点P在椭圆上移动，（1）求的最小值并求取最小值

2、时点P的坐标;（2）求的最大值和最小值.分析：此题与椭圆的焦点有关，考虑到椭圆的离心率为，因此第一问可以根据第二定义转化为点P到左准线的问题，而第二问不能根据第二问来转化，我们可以考虑第一定义.解:由椭圆方程可知a=3,b=,则c=2,,(1)过P向椭圆的左准线作垂线，垂足为Q，,则据椭圆的第二定义知,∴-8-.从而=.易知当A、P、Q在同一条线上时，最小，最小值为，此时点P.（2）设椭圆右焦点为,则∴=，利用-≤≤∴≤6+,≥6-.点拨:一般地，遇到有关焦点或准线问题，首先应考虑定义来解题，根据题目条件和所要求解的结论选择第一或第二定义.例2.椭圆（a>b>0）的二个

3、焦点F1(-c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且。（1）求离心率e的取值范围；（2）当离心率e最小时，点N(0，3)到椭圆上一点的最远距离为，求此椭圆的方程。分析:离心率与椭圆的基本量a、b、c有关，所以本题可以用基本量表示椭圆上点的坐标，再借助椭圆椭圆上点坐标的范围建立关于基本量的不等式，从而确定离心率的范围.解：（1）设点M的坐标为(x，y)，则，。由，得x2-c2+y2=0，即x2-c2=-y2。①①又由点M在椭圆上，得y2=b2，代入①，得x2-c2，即。∵0≤≤，∴0≤≤，即0≤≤1，0≤≤1，解得≤≤1。又∵0＜＜1，∵≤≤1。（2）当离心率取最小值

4、时，椭圆方程可表示为。设点H(x，y)是椭圆上的一点，则

5、HN

6、2=x2+(y-3)2=(2b2-2y2)+(y-3)2=-(y+3)2+2b2+18(-b≤y≤b)。若0＜b＜3，则0＞-b＞-3，当y=-b时，

7、HN

8、2有最大值b2+6b+9。由题意知：b2+6b+9=50，b=或b=-，这与0

9、HN

10、2有最大值2b2+18。由题意知：2b2+18=50，b2=16，∴所求椭圆方程为。点拨：解几中求基本量a、b、c、e等取值范围的解题思路一般可以做如下考虑①建立目标函数，运用求函数值域的方法求解；②建立目标变量的不

11、等式，解不等式求解.-8-例3.如图，已知某椭圆的焦点是F1(－4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且

12、F1B

13、+

14、F2B

15、=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件：

16、F2A

17、、

18、F2B

19、、

20、F2C

21、成等差数列.(1)求该弦椭圆的方程；(2)求弦AC中点的横坐标；(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围.例3分析：第一问直接可有第一定义得出基本量a，从而写出方程；第二问涉及到焦半径问题，可以考虑利用第二定义的得出焦半径表达式，结合等差数列的定义解决；第三问建立m的函数表达式，转化为求函

22、数值域.解：(1)由椭圆定义及条件知，2a=

23、F1B

24、+

25、F2B

26、=10,得a=5,又c=4,所以b==3.故椭圆方程为=1.(2)由点B(4,yB)在椭圆上，得

27、F2B

28、=

29、yB

30、=.因为椭圆右准线方程为x=,离心率为，根据椭圆定义，有

31、F2A

32、=(－x1),

33、F2C

34、=(－x2)，由

35、F2A

36、、

37、F2B

38、、

39、F2C

40、成等差数列，得(－x1)+(－x2)=2×,由此得出：x1+x2=8.设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0==4.(3)解法一：由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上.①②得①－②得9(x12－x22)+25(y12－y22)=0,即9×=0(

41、x1≠x2)将(k≠0)代入上式，得9×4+25y0(－)=0(k≠0)即k=y0(当k=0时也成立).由点P(4，y0)在弦AC的垂直平分线上，得y0=4k+m,所以m=y0－4k=y0－y0=－y0.由点P(4，y0)在线段BB′(B′与B关于x轴对称)的内部，-8-得－＜y0＜,所以－＜m＜.解法二：因为弦AC的中点为P(4,y0)，所以直线AC的方程为y－y0=－(x－4)(k≠0)③将③代入椭圆方程=1,得(9k2+25)x2－50(ky0+4)x+25(ky0+4)2－25×9k2=0所以x1+x2==8,解得k=y0.(当k