高考数学复习点拨 导数中错的反思.doc

高考数学复习点拨 导数中错的反思.doc

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1、导数中错的反思导数是研究函数性质(单调性、极值、最值等)的有力工具,但如果对导数的概念掌握不牢固,对导数的性质理解不到位,就容易造成会而不对、对而不全的现象.本文结合具体例子辨析在学习导数中比较容易出错的几个问题。一、混淆“曲线过一点的切线”与“曲线在该点处的切线”两个概念例1.求曲线y=x3+3x2-5过点M(1,-1)的切线方程.错解:由y=x3+3x2-5知=3x2+6x,∴

2、x=1=9.故所求切线方程为y十1=9(x-1),即9x-y-10=o.错解反思:曲线过点M的切线与曲线在点M处的切线是不同的,曲线在点M处的切线是指切点在M处的切

3、线,曲线过点M的切线还可能存在切线不在M处的另一条切线,两者是有区别的.正确解法:由y=x3+3x2-5知=3x2+6x,设切点为P(x0,y0).则=3x02+6x0.曲线在点P处的切线方程为:y-y0=(3x02+6x0)(x-x0).又切线过点M(1,-1),则-1-y0=(3x02+6x0)(1-x0).整理得y0=3x03+3x02-6x0-1.而点P(x0,y0)在曲线上,则y0=x03+3x02-5.∴x03+3x02-5=3x03+3x02-6x0-1.∴整理得x03-3x02+2=0.即(x0-1)2(x0+2)=0.∴x0=

4、1或x0=-2.则切点为P(1,-1)或P(-2,-1),故所求的切线方程为9x-y-10=0或y=-1.二、因忽视解题顺序而致错例2.求函数在的导数.错解:,.错解反思:在点处的导数,实际上是导函数在处的函数值,即.故求在处的导数,应先求的导函数,再将代入求值,顺序不能颠倒.正确解法:,.三、在求函数单调区间时用“∪”连接致误例3.求函数y=x3(x∈R)的单调区间.错解:令=3x2>0,得x≠0;令=3x2<0,得x不存在.用心爱心专心故y=x3的递增区间为(-∞,0)和(0,+∞).错解反思:这与我们知道的“y=x3是R上的增函数”相矛盾

5、.(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增(递减)的充要条件是:对任意的x∈(a,b),有(x)≥0((x)≤0),且(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于零(若(x)恒等于零,则f(x)为常数函数),即函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有(x0)=0,甚至可以有无穷多个点处有(x0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间.利用导数求单调区间时要注意两点:(1)多个增(减)区间之间用“、”或“和”相连接,而不用“∪”;(2)若多个增(减)区间之间有公共区间端点,且函数在端点处连续,一定要合并.正解:令令

6、=3x2>0,得x≠0.又f(x)在x=0处连续,则f(x)是R上的增函数.四、对题意理解不清而致错例4. 求曲线的过点的切线方程.错解:显然点在曲线上,且,.故所求切线方程为,即.错解反思:曲线过点的切线与曲线在点处的切线不同,前者既包括点处的切线,也包括过点但切点为另一点的切线.因此,解题时必须理清头绪,弄清题意.正解:设切点为,,在点处的切线方程为.又切线过点,,整理,得,即.或.当时,切线方程为,当时,切线方程为.五、忽视导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件例5.求函数f(x)=的极值.错解:f(x)的定义城为(-∞,十∞).用心爱心

7、专心(x)=。令(x)=0,得x=1.当x<1时,(x)>0,f(x)为增函数;当x>1时,(x)<0,f(x)为减函数.∴f(x)只在x=1处取得极大值f(1)=1.错解反思:可导函数的极值点一定是它的导数为零的点,但导傲为零的点,不一定是该函傲的极值点.也就是说,导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件,同时还要注意定义域内导数不存在的点.正确解法:f(x)的定义域为(-∞,十∞),令(x)=0,得x=1,而x=0和x=2是(x)不存在的点.列表考察(x)的符号:由上表可知:函数f(x)的极小值为f(0)=f(2)=0,极大值为f(1)=1.

8、用心爱心专心

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