高三数学 极限教案同步教案 新人教A版.doc

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1、高三同步辅导材料（第2讲）一、教学进度第二章极限2．1极限2．2极限的运算性质主要内容1、数列极限及函数极限的定义；2、数列极限及函数极限的运算性质；能运用极限的运算性质求型及型的极限。二、学习指导1．数列极限的定义：（1）无穷数列：若数列{an}的项数无限，则称数列{an}为无穷数列。（2）数列极限的描述性定义：对于无穷数列{an}，当n项数无限增大时，{an}的项an无限趋近于某个常数A，则称A是数列{an}的极限。用符号表示为：，或：当n→∞时，an→A所谓“an无限趋近A”是指an的值无限靠近，无限接近于A，或者说，当n充分大时，an的值与A要多接近就可以多接近。数列极限的直观解释：

2、当n充分大时，an与A在数轴上对应点间的距离可以无限的小。（3）数列极限的精确定义：无穷数列{an}，A为常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N，使得只要n>N，恒有

3、an-A

4、<ε，则称A为数列{an}的极限。该定义称为数列的ε—N定义。实际上，正数ε是来描述an与A接近的程度的，ε总取很小很小的正数，ε—N定义就是说，不管ε取多么小的正数，总能使得an与A之间的距离比ε还小，或者说，从某项N以后的所有项an，总在区间A（A—ε，A+ε）内。关于极限定义的理解，还应注意以下几点：①如果数列{an}有极限，则极限是唯一的；②正数ε是绝对任意的，又是相对固定的，否则N无法确定；

5、③ε是N的相关量，给定ε在先，对应N在后；④当an趋近于A时，从数轴上看，既可以从A的右边趋近于A，也可以从A的左边趋近于A，但an与A之间的距离

6、an-A

7、总趋向于0；⑤极限反映的是数列{an}的项an变化的趋势，因此允许有有限个项与A的距离很大。但也要求从某个项an后，所有项与A无限接近，即所有项在任意小的区间（A-ε，A+ε）内，如图：∴　（k∈N+，k为常数）（4）数列极限存在的条件：-8-用心爱心专心常数列，单调有界数列必存在极限；（5）如果求数列的极限：数列极限的ε——N定义不能用来求极限，它只能用来检验数列极限。数列的极限的描述性定义也并不能用来准确地求数列的极限（少数数列可以

8、）。一般数列极限的求解，可在特殊数列极限的基础上，借助于极限的运算性质进行。它体现了化归的数学思想。（1）基本数列的极限：（C是常数）（2）数列极限的运算性质：如果=A，，那么：=A+B，AB，，=CA（C为常数）运算性质的实质反映了四则运算与极限运算可以交换次序。上述运算性质可以推广到有限个数列和差积商的形式，因此有等。在运用运算性质时，应把握两个条件：（1）数列是有限个；（2）每个均有极限。2、函数极限的定义（i）函数极限的类型（1）x→∞时，函数f(x)的极限它可分为：①x→+∞时，f(x)的极限一般地，当自变量x取正值并且无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数A，则f(x)=

9、A。这种类型与数列极限完全类似，只不过n是间断趋近于+∞，而x是连续趋近于+∞。因数列是特殊的函数，故前者可看成是后者的特例。②x→-∞时，f(x)的极限一般地，当自变量x取负值且组对值无限增大时，如果f(x)无限趋近于一个常数A，则f(x)=A③x→∞时，f(x)的极限当且仅当时，也就是说，一方面，如果中有一个不存在，或者，则不存在；-8-用心爱心专心另一方面，如果=A，则必有存在，且A（1）x→x0时，f(x)的极限①左极限：x→x0-时，f(x)的极限：如果当x从点x=x0左侧（即x

10、限：x→x0+时，f(x)的极限：如果当x从点x=x0右侧（x>x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数A，则称A是f(x)在点x0处的右极限，记A。③x→x0时，f(x)的极限：当且仅当A时，Af(x)在x0的左右极限与在x0处的极限之间的关系，类似于n→+∞，n→-∞与n→∞时极限之间的关系。（ii）函数极限的运算性质：各种类型的函数极限的运算性质与数列极限的运算性质完全类似。（iii）如何求函数极限：①如果f(x)是初等函数，x0在f(x)定义域内，则；②利用代数变形及极限运算性质转化为可求极限的函数。三、典型例题例1、求，其中a、b为常数。解题思路分析：原式=当a≠1时，极

11、限不存在当a=1时，原式=说明：此题属于，其中f(n)、g(n)都是关于n的多项式，其结论是：若分子的最高次数＜分母的最高次数，则极限为0；若分子的最高次数=分母的最高次数，则极限等于分子分母最高次项系数之比；若分子最高次数＞分母的最高次数，则极限不存在。例2、求解题思路分析：-8-用心爱心专心=∴说明：很多数列的通项公式从形式上好象不存在极限，但经过变形后仍可以通过运算性质求极限。有理化就是一种变形手段。例