高三数学几何中的角度距离(文)人教实验版(A)知识精讲.doc

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1、高三数学几何中的角度距离(文)人教实验版(A)【本讲教育信息】一.教学内容:立体几何中的角度距离二.重点、难点:1.角度(1)两条异面直线所成角(2)直线与平面所成角(3)二面角2.距离(1)作垂线(2)体积转化【典型例题】[例1]PA、PB、PC两两垂直,与PA、PB所成角为45°,60°,求与PC所成角。解:构造长方体[例2]正四棱锥S—ABCD中,AB=,SA=,M为SA中点,N为SC中点。(1)求BN,DM所成角的余弦值;(2)P、Q在SB、CA上,,求PQ与底面ABCD所成角的正切值。用心爱心专心解:(

2、1)MEFDH为SN中点∴异面直线MD、BN所成角的余弦值为(2)过P作PH//SO交BD于H∴PH⊥面ABCD∴∠PQH为PQ与底面所成角∴用心爱心专心[例3]SA⊥面ABC,AB⊥BC,DE在面SAC内,垂直平分SC,交SC、AC于E、D,若SA=AB=1,BC=,求二面角(1)B—SC—A的余弦值;(2)E—BD—C。解:(1)面DEB∴∠DEB为二面角A—SC—B的平面角面SAC∴∠EDC为二面角C—BD—E的平面角∴∵AB=SA=1AC=SC=2∴BE=1DE=CD=∴∵∴用心爱心专心[例4]正方体AB

3、CD—A1B1C1D1中,AB=1,求:(1)D到面D1AC的距离;(2)C到面AB1D1的距离;(3)M为BB1中点,M到面D1AC的距离;(4)AC1与BB1的距离解:(1)连BD∩AC=E过D作DF⊥D1E于F,∴DF为距离(2)设C到面AB1D1的距离为h∴用心爱心专心(3)连DM交D1E于H,设M到面D1AC距离为∴(4)[例5]四棱锥P—ABCD,底面ABCD为菱形,AB=2,∠BAD=60°,PB=PD,PA=PC=,求:(1)B到面PAD的距离;(2)BC与PA的距离;(3)AC与PD的距离。解:

4、(1)AC∩BD=H,连PHBF为所求PA=,AH,PH,PB=2∴BE=DE=,BD=2用心爱心专心∴BF=另(2)(BC,面PAD)=(B,面PAD)=(3)过H作HM⊥PD于M为公垂线[例6]已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AA1=2,底面ABCD是直角梯形,∠A为直角,AB//CD,AB=4,AD=2,DC=1,求异面直线BC1与DC所成角的余弦值。解析:由题意AB//DC∴∠C1BA是异面直线BC1与DC所成的角,连结AC1与AC,在中,可得AC=,又在Rt△ACC1中,可得AC1=3,在

5、梯形ABCD中,过C作CH//AD交AB于H,得∠CHB=90°,CH=2,HB=3,∴CB=,又在Rt△CBC1中,可得BC2=用心爱心专心在中,∴异面直线BC1与DC所成角的余弦值为[例7]已知B、C是平面与平面的交线上的两点,,,AB=BC=CD=2,AC=BD=,E、F分别是AC和BD的中点,且EF=。(1)求证:BC是异面直线AB与CD的公垂线;(2)求AB与CD所成角的大小。解析:(1)证明:题设给出一系列数据,通过计算得,=,可知和都是直角三角形,其中∠ABC和∠BCD是直角,即BC⊥AB,BC⊥C

6、D。即BC是异面直线AB与CD的公垂线(2)取BC中点为G,如图,可知∠EGF(或其补角)是AB与CD所成的角,在△EGF中,由余弦定理得,故,即AB与CD所成的角为60°。[例8]如图所示,正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都等于,P,Q分别是棱B1C1和A1A的中点。用心爱心专心(1)求异面直线AB和PC所成角的余弦值;(2)求锐二面角B—PQ—C的大小。解析:(1)选取A1C1中点M,连结PM,MC,则由于M,P分别是A1C1和B1C1的中点,所以MP。而A1B1AB,所以MP。从而∠MPC为异面直

7、线AB和PC所成的角或其补角。又在△CMP中,由余弦定理,得因此异面直线AB和PC所成的角余弦值为。用心爱心专心(2)在中,在中,在中,在中,从而△BQP中和△CQP是两个具有公共底边的等腰三角形取PQ中点N,连结BN,CN,则BN⊥PQ,CN⊥PQ,从而∠BNC为二面角B—PQ—C的平面角。连结A1P,则在中,所以BN=CN=即△BNC为正三角形,∠BNC=60°,因此锐二面角B—PQ—C的大小为60°[例9]如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1

8、=3,BE=1。求:(1)BF的长;(2)点C到平面AEC1F的距离。解析:(1)过E作EH//BC交CC1于H,则CH=BE=1,EH//AD,且EH=AD用心爱心专心又∵AF//EC1∴∠FAD=∠C1EH∴∴DF=C1H=2∴(2)延长C1E与CB延长线交于G,连结AG,则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG过C作CM⊥AG,垂足为M,连C1M,由三垂线定理可知A

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