八年级下学期专题培优.doc

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1、.八年级数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题-即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂

2、线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【十二个基本问题】【问题1】作法图形原理在直线l上求一点P，使PA+PB值最小．连AB，与l交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB最小值为AB．【问题2】“将军饮马”作法图形原理在直线l上求一点P，使PA+PB值最小．作B关于l的对称点B＇连AB＇，与l交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB最

3、小值为AB＇．【问题3】作法图形原理在直线、上分别求点M、N，使△PMN的周长最小．分别作点P关于两直线的对称点P＇和P＇＇，连P＇P＇＇，与两直线交点即为M，N．两点之间线段最短．PM+MN+PN的最小值为线段P＇P＇＇的长．【问题4】作法图形原理在直线、上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小．分别作点Q、P关于直线、的对称点Q＇和P＇连Q＇P＇，与两直线交点即为M，N．两点之间线段最短．四边形PQMN周长的最小值为线段P＇P＇＇的长．【问题5】“造桥选址”作法图形原理..直线∥，在、，上分别求

4、点M、N，使MN⊥，且AM+MN+BN的值最小．将点A向下平移MN的长度单位得A＇，连A＇B，交于点N，过N作NM⊥于M．两点之间线段最短．AM+MN+BN的最小值为A＇B+MN．【问题6】作法图形原理在直线上求两点M、N（M在左），使，并使AM+MN+NB的值最小．将点A向右平移个长度单位得A＇，作A＇关于的对称点A＇＇，连A＇＇B，交直线于点N，将N点向左平移个单位得M．两点之间线段最短．AM+MN+BN的最小值为A＇＇B+MN．【问题7】作法图形原理在上求点A，在上求点B，使PA+AB值最小．作点

5、P关于的对称点P＇，作P＇B⊥于B，交于A．点到直线，垂线段最短．PA+AB的最小值为线段P＇B的长．【问题8】作法图形原理A为上一定点，B为上一定点，在上求点M，在上求点N，使AM+MN+NB的值最小．作点A关于的对称点A＇，作点B关于的对称点B＇，连A＇B＇交于M，交于N．两点之间线段最短．AM+MN+NB的最小值为线段A＇B＇的长．【问题9】作法图形原理在直线l上求一点P，使的值最小．连AB，作AB的中垂线与直线l的交点即为P．垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．＝0．【问题10】作法图形原理作

6、直线AB，与直线l..在直线l上求一点P，使的值最大．的交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．≤AB．的最大值＝AB．【问题11】作法图形原理在直线l上求一点P，使的值最大．作B关于l的对称点B＇作直线AB＇，与l交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．≤AB＇．最大值＝AB＇．【问题12】“费马点”作法图形原理△ABC中每一角都小于120°，在△ABC求一点P，使PA+PB+PC值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°．以AB、AC为边向外作等边△ABD、△ACE

7、，连CD、BE相交于P，点P即为所求．两点之间线段最短．PA+PB+PC最小值＝CD．一、求最值常用的知识点：1.两点之间线段最短。2.垂线段最短。3.斜边大于角边。4.三角形任两边之和大于第三边。二、线段最值常用的方法：（一）作对称点例：如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，求PE+PB的最小值。练习:1．如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是___

8、__________。2．如图，菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，点M、N、P分别为线段AB、AD、BD上的任意一点，求PM+PN的最小值。..3．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，求EP＋FP的最小值4．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.(1)求证：四边形BC