一元二次方程的根及系数的关系.doc

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1、.一元二次方程的根与系数的关系一、目标认知学习目标　　1．掌握一元二次方程的根与系数的关系；　　2．能够利用一元二次方程的根与系数的关系求简单的关于根的对称式的值；　　3．能够利用一元二次方程的根与系数的关系判断两个数是否是方程的根；　　4．能够利用一元二次方程的根与系数的关系求出以两个已知数为根的一元二次方程．重点　　对一元二次方程的根与系数的关系的掌握，以及在各类问题中的运用．难点　　一元二次方程的根与系数的关系的运用．二、知识要点梳理　　一元二次方程根与系数的关系　　如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实根是x1，x2，那么.　　注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.三、规律方法指导

2、　　一元二次方程根与系数的关系的用法：　　①不解方程，检验两个数是否为一元二次方程的根；　　②已知方程的一个根，求另一个根及未知系数；　　③不解方程，求已知一元二次方程的根的对称式的值；　　④已知方程的两根，求这个一元二次方程；　　⑤已知两个数的和与积，求这两数；　　⑥已知方程的两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值；　　⑦讨论方程根的性质。四、经典例题透析1.已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值.　　1.已知方程x2-6x+m2-2m+5=0一个根为2，求另一个根及m的值.　　思路点拨：本题通常有两种做法，一是根据方程根的定义，把x=2代入原方程，先求出m的值，再通过解

3、方程求另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及m的值.　　解：法一：把x=2代入原方程，得　　　　　　　22-6×2+m2-2m+5=0　　　　　　　即　m2-2m-3=0　　　　　　　解得m1=3，m2=-1　　　　　　　当m1=3，m2=-1时，原方程都化为　　　　　　　x2..-6x+8=0　　　　　　　∴x1=2，x2=4　　　　　　　∴方程的另一个根为4，m的值为3或-1.　　　　法二：设方程的另一个根为x.　　　　　　　则　　　　　　　2.判别一元二次方程两根的符号.　　2.不解方程，判别2x2+3x-7=0两根的符号情况.　　思路点拨：因为二次项系数，一次项

4、系数，常数项皆为已知，可求根的判别式△，但△只能用于判定根存在与否，若判定根的正负，则需要考察x1·x2或x1+x2的正负情况.　　解：∵△=32-4×2×(-7)=65＞0　　　　∴方程有两个不相等的实数根，设方程的两个根为x1，x2，　　　　∵　　　　∴原方程有两个异号的实数根.　　总结升华：判别根的符号，需要“根的判别式”，“根与系数的关系”结合起来进行确定.另外本题中x1·x2＜0，可判定根为一正一负，若x1·x2＞0，仍需考虑x1+x2的正负，从而判别是两个正根还是两个负根.　　举一反三：　　【变式1】当m为什么实数时，关于x的二次方程mx2-2(m+1)x+m-1=0的两个根都是

5、正数.　　思路点拨：正、负根的问题应这样想：如正数根，应确保两根之和大于零，两根之积大于零，根的判别式大于等于零.　　解：设方程的二根为x1，x2，且x1＞0，x2＞0，　　　　则有　　　　由△=[-2(m+1)]2-4m(m-1)≥0，解得：　　　　∵m≠0，　∴m＞0或m＜0，　　　　∴上面不等式组化为：..　　　　　　　　由⑴得　m＞1；⑵不等式组无解.∴m＞1　　　　∴当m＞1时，方程的两个根都是正数.　　总结升华：当二次项系数含有字母时，不要忘记a≠0的条件.　　【变式2】k为何值时，方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0　　（1）两根互为相反数；　　（2）两根互为倒数；　　（

6、3）有一根为零，另一根不为零.　　思路点拨：两根“互为相反数”、“互为倒数”，“有一根为零，另一根不为零”等是对两根的性质要求，在满足这个要求的条件下，求待定字母的取值.方程的根互为相反数，则x1=-x2，即x1+x2=0;互为倒数，则x1=，即x1·x2=1，但要注意考察判别式△≥0.　　解：设方程的两根为x1，x2，　　　　则x1+x2=　　　　x1x2=　　　　（1）要使方程两根互为相反数，必须两根的和是零，　　　　　　即x1+x2=，∴k=0，　　　　　　当k=0时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=16＞0　　　　　　∴当k=0时，方程两根互为相反数.　　　　（2）要使

7、方程两根互为倒数，必须两根的积是1，即　　　　　　x1x2==1，解得k=4　　　　　　当k=4时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=-144＜0　　　　　　∴k为任何实数，方程都没有互为倒数的两个实数根.　　　　（3）要使方程只有一个根为零，必须二根的积为零，且二根的和不是零，　　　　　　即x1x2==0，解得k=..　　　　　　又当k=时，x1+x2=，　　　　　　当k=时，△=(4k)2-4