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1、.非线性方程的数值计算方法实验【摘要】在利用数学工具研究社会现象和自然现象，或解决工程技术等问题时，很多问题都可以归结为非线性方程的求解问题，无论在理论研究方面还是在实际应用中，求解非线性方程都占了非常重要的地位。综合当前各类非线性方程的数值解法，通过比较分析，二分法，迭代法，牛顿—拉夫森方法，迭代法的收敛阶和加速收敛方法，以上的算法应用对某个具体实际问题选择相应的数值解法。关键词非线性方程；二分法；迭代法；牛顿-拉夫森法；割线法等。一、实验目的通过本实验的学习，应掌握非线性方程的数值解法的基本思想和原理，深刻认识现实中非线性方程数值的意义；明确代数精度的概念；掌握二分法、不动点迭代
2、法、牛顿迭代法、割线法等常用的解非线性方程的方法；培养编程与上机调试能力。二、实验原理二分法：单变量函数方程：f（x）=0其中，f(x)在闭区间[a，b]上连续、单调，且f(a)*f(b)<0,则有函数的介值定理可知，方程f（x）=0在（a，b）区间有且只有一个解，二分法是通过函数在区间端点的符号来确定所在区域，将有根区间缩小到充分小，从而可以求出满足给定精度的根的近似值。下面研究二分法的几何意义：设=1,=b,区间，中点=及，若=0，则，若f()*f()<0，令=，=，则根[,]中，这样就得到长度缩小一半的有根区间[,]，若f()*f()<0，令=，=，则根[,]中，这样就得到长度
3、缩小一半的有根区间[,],即f()f(..)<0,此时-=,对有根区间[,]重复上述步骤，即分半求中点，判断中电处符号，则可得长度有缩小一半的有根区间[,],如图所示：重复上述过程，第n步就得到根的近似序列及包含的区间套，如下：（1）（2）（3）-==…=(4)且
4、-
5、(n=1,2,3…..)显然lim，且以等比数列的收敛速度收敛于，因此用二分法求f（x）=0的实根可以达到任意指定精度。（二）迭代法：对给定的方程，将它转达换成等价形式：。给定初值，由此来构造迭代序列，如果迭代法收敛，即，有，则就是方程的根。在计算中当小于给定的精度控制量时，取为方程的根。..（三）牛顿迭代法：设方程f
6、(x)=0在其根的某个领域U(，)有一阶连续导数，且f’()≠0。求f(x)=0的根，首先要将f(x)=0转化为等价形式，并使(x)满足不动点迭代的一般理论。于是我们令(x)=x+h(x)f(x),可由‘()=0来确定h(x)的结构，根据’(x)=1+h’()f()+h()f’(x1)=1+h()f’()=0可得h()=-1/f’()，由于f’(x)≠0，且f’(x)连续，因此当h(x)=-1/f’(x)时，h’(x1)=0，即令(x)=x-f(x)/f‘(x)，从而有迭代格式=（k=0,1,2，…..）由于,,…….都在U领域里，从而当B比较小时，可用f’()可近似代替f’(),=
7、-，此方法称为牛顿迭代法。（四）割线法：设,为方程f(x)=0的两个近似根。用差商得：f()-f()/-，代替牛顿迭代公式中的导数f’()，于是得到如下的迭代公式：=-。下面研究割线法的几何意义：经过点（,f()）及点（,f()）两点作割线，其点斜式方程为：Y=f（）-，其零点为X=-把X用表示即得到迭代格式，需要两个初值此割线与X轴交点的横坐标就是新的近似值，如图所示。..三、实验容（一）、实验描述1.P40.1:参照程序2.1求解出单调收敛的不动点。2.P49.1:已知初值，时间和末值，求解汇率。4.P69.1：已知运动方程求解运动时间和距离。（二）、实验题目1.使用程序2.1求
8、解下面每个函数的不动点（尽肯能多）近似值，答案精确到小数点后12位。同时，构造每个函数的图和直线y=x来显示所有不动点。(d)2.如果在240个月每月付款300美元，求解满足全部现金A为500000美元的汇率I的近似值（精确到小数点后10位）。4.设投射方的运动程为（a）求当撞击地面时经过的时间，精确到小数点后10位。..（a）求水平飞行行程，精确到小数点后10位。四、实验结果及分析1.P40.1（d）：算法：（1）输入函数g，p0,tol,max1,令k=2。（2）判断k>max1是否成立，如成立输出结果，如不成立，执行（3）。（3）令p(k)=g(p(k-1)),err=
9、p(k
10、)-p(k-1)
11、。(4)判断errmax1YNLetp(k)=g(p(k-1));err=
12、p(k)-p(k-1)
13、k=k+1err
