高中数学复习学（教）案（第37讲）不等式综合问题.doc

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1、题目第六章不等式不等式综合问题高考要求1熟练运用不等式的知识综合解决函数、方程等中的有关问题2在掌握一次函数单调性、二次函数的最值以及在定区间上的最值问题，学会变量的转换，掌握：恒正、恒负、解集为R、解集为空集的实际含义并且会转化3掌握“两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数”，并能运用此定理解决一些问题4能从实际问题中抽象出数学模型，寻找出该数学模型中已知量与未知量，建立数学关系式，并用适当的方法解决问题5通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解

2、决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．知识点归纳1两个正数的均值不等式是：三个正数的均值不等式是：n个正数的均值不等式是：2两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是3.双向不等式是：左边在时取得等号，右边在时取得等号4不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用．在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结

3、为不等式的求解或证明．不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明5不等式应用问题体现了一定的综合性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件．利用不等式解应用题的基本步骤

4、：10审题，20建立不等式模型，30解数学问题，40作答题型讲解例1某电脑用户计划使用不超过450元的资金购买单价分别为60元，70元的单元软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少要买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式有（）A．5种B6种C7种D8种解:设购买软件片,且,磁盘盘,且,则,即当=3时,=2,或=3;当=4时,=2,或=3;当=5时,=2综上述，共有5种不同的选购方式，故选A例2已知，求的范围分析：先利用解含绝对值的不等式的方法及积（商）的符号法则解不等式求出A和B，再利用数轴表示出A和B，得到时应满足的条件，从而求出的范围解：由：例3已

5、知某种商品的定价上涨成（1成即为，成即为），其销售量便相应减少成，按规定，税金是从销售额中按一定的比例缴纳，如果这种商品的定价无论如何变化，从销售额中扣除税金后的金额总比涨价前的销售额少，试求这时税率的取值范围(精确到01%)注:本小题考查建立函数关系式,解不等式的知识,数学应用意识,建模能力和解决问题的能力解：设原定价为元/件，原销售量为件，则原销售额为元，由已知得①①式恒成立，∴△<0，解得，故111%<<1,即税率的取值范围∈(111%,100%)例4已知对任意q都有cos2q─2msinq─2m─2恒小于0，求m的取值范围解法一：设y=co

6、s2q─2msinq─2m─2=─(sinq+m)2+m2─2m─1∵─1£sinq£1,∴(1)─1£m£1Þsinq=─m时，y的最大值为m2－2m─1,由m2－2m─1<0,得1─1Þsinq=─1时，y的最大值为─2<0恒成立；(3)m<─1Þsinq=1时，y的最大值=─4m─2<0Þm>1/2与m<─1矛盾综合即得：m∈(1─,+¥)解法二：对任意q都有cos2q─2msinq─2m─2恒小于0，等价于─sin2q─2msinq─2m─1<0恒成立等价于─2m(sinq+1)

7、inq=─1时，显然成立；当─11－例5若抛物线上总存在关于直线的异于交点的两个对称点，试求实数的取值范围解法一：（对称曲线相交法）曲线关于直线对称的曲线方程为如果抛物线上总存在关于直线对称的两点，则两曲线与必有不在直线上的两个不同的交点(如图所示)，从而可由：∵　　∴　代入得　有两个不同的解，∴　解法二：（对称点法）设抛物线上存在异于于直线的交点的点，且关于直线的对称点也在抛物线上则必有两组解(1)-(2)得必有

8、两个不同解∵，∴有解从而有有两个不等的实数解即有两个不等的实数解∴∵，∴解法三：（点差法）设抛物线上以为端点的弦关于直线对