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1、数列的通项公式求解方法经典整理★旭日东升★QQ：284625005一、定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。1．概念与公式：①等差数列：1°.定义：若数列称等差数列；2°.通项公式：3°.前n项和公式：公式：②等比数列：1°.定义若数列（常数），则称等比数列；2°.通项公式：3°.前n项和公式：当q=1时2．简单性质：①首尾项性质：设数列1°.若是等差数列，则2°.若是等比数列，则②中项及性质：1°.设a，A，b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且2°.设a,G,b成等比数列，则G称
2、a、b的等比中项，且③设p、q、r、s为正整数，且1°.若是等差数列，则2°.若是等比数列，则④顺次n项和性质：1°.若是公差为d的等差数列，组成公差为n2d的等差数列；2°.若是公差为q的等比数列，组成公差为qn的等比数列.（注意：当q=－1，n为偶数时这个结论不成立）⑤若是等比数列，则顺次n项的乘积：组成公比这的等比数列.⑥若是公差为d的等差数列,1°.若n为奇数，则而S奇、S偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；2°.若n为偶数，则1.等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通
3、项公式.解析：设数列公差为∵成等比数列，∴，即∵，∴……………………………………①∵，∴……………②由①②得：，∴点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。2.在等差数列；在各项为正的等比数列。解析：0,3.已知数列试写出其一个通项公式：__________；二、观察法给出前几项（或用图形给出），求通项公式一般从以下几个方面考虑：①符号相隔变化用(-1)的n次方来调节。②分式形式的数列，注意分子、分母分别找通项，并注意分子与分母的联系。③分别观察奇数项
4、与偶数项的变化规律，用分段函数的形式写出通项。④观察是否与等差数列和等比数列相联系。⑤分析相邻项的关系。⑥如果需要证明，使用数学归纳法。例：求以下数列的通项公式①1/2,4/9,3/8,8/25,5/18,12/49……②-3,7,-13,21,-31……③1,4,9,16……解析：①：将1/2改成2/4,3/8改成6/16，5/18改成10/36，原数列就为2/4,4/9,6/16,8/25,10/36,12/49，所以通项公式为an=2n/(n+1)²②：符号相隔变化用(-1)的n次方来调节
5、，数列3，7，13，21，31，……的通项公式：后项与前项差为4、6、8、10……，把第一项3分为1+2，数列2、4、6、8、10……，为等差数列，公差d=2，通项：2+2(n-1)=2n，则bn=1+2+4+6+……+2n=1+=n²+n+1所以an=(-1)n(n²+n+1)第二种办法：数列3，7，13，21，31，……看作：4-1，9-2，16-3，25-4，36-5，……所以an==③：an=n²例：已知数列满足，求数列的通项公式。解：由及，得由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。（
6、1）当时，，所以等式成立。（2）假设当时等式成立，即，则当时，由此可知，当时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。1.（广东卷）设平面内有ｎ条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这ｎ条直线交点的个数，则_____________；当ｎ＞４时，＝_____________．2.（2008·福州检测）图（1），（2），（3），（4）分别包含
7、1,5,13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第50个图包含个互不重叠的单位正方形.3．（2006年广东卷）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就1个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的乒乓球总数，则；（答案用含有n的式子表示）4.如图,作边长为的正三角形的内切圆,在这个圆内作
8、内接正三角形,然后,再作新三角形的内切圆.如此下去,则前个内切圆的面积和为___解析：设第个正三角形的内切圆的半径为,因为从第2个正三角形开始,每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的,每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的.由题意知,.故前个内切圆的面积和为.5.学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A,B两种菜可供选择.调查资料表明,凡是在星期一选A种菜的,下星期一会有20%改选B种菜;而选B种菜的,下星期一会有30%改选A种菜.用分别表示在第个星期选A的人数和选B
