数学解题中转化思维的十种策略.doc

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1、数学解题中转化思维的十种策略江苏洪泽县中学胡国生数学活动的实质就是思维的转化过程，在解题中，要不断改变解题方向，从不同角度，不同的侧面去探讨问题的解法，寻求最佳方法，在转化过程中，应遵循三个原则：1、熟悉化原则，即将陌生的问题转化为熟悉的问题；2、简单化原则，即将复杂问题转化为简单问题；3、直观化原则，即将抽象总是具体化。 策略一：正向向逆向转化 一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，解题时，如果从下面入手思维受阻，不妨从它的正面出发，逆向思维，往往会另有捷径。 例1：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不共面的取法共有__________种。 A、150 

2、     B、147      C、144      D、141 分析：本题正面入手，情况复杂，若从反面去考虑，先求四点共面的取法总数再用补集思想，就简单多了。 解：10个点中任取4个点取法有种，其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有种，同理其余3个面内也有种，又，每条棱与相对棱中点共面也有6种，各棱中点4点共面的有3种，不共面取法有种，应选（D）。 策略二：局部向整体的转化 从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较复杂的数学问题却需要从总体上去把握事物，不纠缠细节，从系统中去分析问题，不单打独斗。 例2：一个四面体所有棱长都是，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为（

3、   ） A、       B、       C、       D、 分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，容易出错，但把正四面体补形成正方体，那么正四面体，正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，从而外接球半径为，应选（A）。    策略三：未知向已知转化 又称类比转化，它是一种培养知识迁移能力的重要学习方法，解题中，若能抓住题目中已知关键信息，锁定相似性，巧妙进行类比转换，答案就会应运而生。 例3：在等差数列中，若，则有等式 （成立，类比上述性质，在等比数列中， ，则有等式_________成立。 分析：等差数列中，

4、，必有， ， 故有类比等比数列，因为  ，故成立。策略四：固定向重组的转化 挖掘题目隐含关系，将已知条件或结论巧妙而又合理地改造，重新组合，让零散的信息聚整，模糊的信息显现。 例4：外两条直线，给出四个论断：① ② ③ ④以其中三个论断为条件，余下论断为结论，写出所有正确的命题。 分析：本题要求学生对线线关系，面面关系，以及线面关系的判定及其性质理解透彻，重点考查学生对信息分析、重组判断能力，正确命题有①②③④，②③④① 策略五：抽象向具体转化 有些题目看起来较为抽象，貌似不易解决，但结合具体数学情境，联系相知，建立模型，以启迪解题思路，寻找解决问题的突破口。 例5：已知为常数，且，

5、问是不是周期函数，若是，求出周期，若不是说明理由。 分析：由联想到，找到一个具体函数，=，而函数猜想是一个周期为的函数。这样方向明，思路清。 证明：，  策略六：个别向一般的转化 华罗庚说过：“善于退，足够地退，退到起始，而不失去重要地步，是学好数学的决窍。”对于表面上难于解决的问题，需要我们退步考虑，研究特殊现象，再运用分析归纳、迁移、演绎等手法去概括一般规律，使问题获解。 例6：已知数列 ()是首项为，公比为的等比数列。 （1） 求和：；   （2） 由（1）的结果归纳出关于正整数的一个结论，并加以证明。   分析：（1） （） 同理可得：=  猜想： 证明：=      = 策

6、略七：数向形的转化 数缺形时少直观，形缺数时难入微，形数结合是数学的重要表现形式，通过对已知不等式函数等变形，代换处理后，赋于其几何意义，以形定数，可以避繁就简。 例7：设，求证： 分析：不等式右端为，可看为单位正方形的两条对角线之和，从题目的整体结构容易联想到勾股定理。 证明：作边长为1的正方形ABCD，作两组平行线把正方形分成四个矩形，那么不等式左端=（PA+PC）+（PB+PD）AC+BD=，当且仅当P在正方形中心处，即时，“等号”成立。策略八：暄量向定性的转化 当定量求解某些问题困难时，可以考虑将定量问题转化为定性问题，通过定性判断来解决。 例8：已知函数图象如下图   则函

7、数图象可能是（   ）   分析:要根据的函数图象准确地画出的图象是困难的，但我们注意到一奇一偶，所以是奇函数排除B，但在无意义，又排除C、D，应选A。 策略九：主元向辅元的转化 主元与辅元是人为的相对的，可以相互切换，当确定了某一元素为主元时，则其他元素是辅元。 例9：已知关于的方程：有且仅有一个实根，求实数的取值范围。 分析：显然，题目中的是主元，为辅元，但方程中的最高次数为3，求根比较困难，注意到的最高次数为2，故可视为主元，原方程转化为关于的二次方