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《数列通项公式的求法(经典).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、数列通项公式的求法一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式.解：设数列公差为∵成等比数列，∴，即∵，∴………………………………①∵∴…………②由①②得：，∴】点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。二、公式法若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解。例2．已知数列的前项和满足．求数列的通项公式。解：由当时，有……，经验证也满足上式，所以点评：利用公式求解时，要注意对n分类
2、讨论，但若能合写时一定要合并．三、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。类型1递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例3.已知数列满足，，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，类型2（1）递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例4.已知数列满足，，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，注：由和确定的递推数列的通项还可以如下求得：所以，，，依次向前代入，得
3、，类型3递推式：解法：只需构造数列，消去带来的差异．其中有多种不同形式①为常数，即递推公式为（其中p，q均为常数，）。解法：转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例5.已知数列中，，，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.②为一次多项式，即递推公式为例6．设数列：，求.解：设，将代入递推式，得…（１）则,又，故代入（１）得备注：本题也可由,（）两式相减得转化为求之.③为的二次式，则可设;类型4递推公式为（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q,r均为常数）解法：该类型较类型3要
4、复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再应用类型3的方法解决。例7.已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,应用例7解法得：所以类型5递推公式为（其中p，q均为常数）。解法：先把原递推公式转化为其中s，t满足，再应用前面类型3的方法求解。例8.已知数列中，,,，求。解：由可转化为即或这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即又，所以。1．在数列中，，，求. ∵， 当时， ， ， ，
5、 将上面个式子相加得到： ∴（）， 当时，符合上式 故.2．设是首项为1的正项数列，且，求它的通项公式. 由题意 ∴ ∵，∴， ∴， ∴，又， ∴当时，， 当时，符合上式【变式2】已知数列中，，，求通项公式. 由得，∴ ， ∴， ∴当时， 当时，符合上式 ∴3．数列中，,，求. 对两边同除以得即可.∵，∴两边同除以得， ∴成等差数列，公差为d=5，首项， ∴
6、， ∴.4．已知数列中，，，求. 法一：设，解得 即原式化为 设，则数列为等比数列，且 ∴ 法二：∵ ① ② 由①－②得： 设，则数列为等比数列 ∴ ∴ ∴ 法三：，，，……， ， ∴【变式1】已知数列中，，求 【答案】令，则， ∴，即 ∴， ∴为等比数列，且首项为，公比， ∴， 故. 【变式2】已知数列满足,而且，求这个数列的通项公式. 【答案】∵，∴ 设，则，即， ∴数列是
7、以为首项，3为公比的等比数列， ∴，∴. ∴.5．已知数列中，是它的前n项和，并且, . (1)设,求证：数列是等比数列； (2)设，求证：数列是等差数列； (3)求数列的通项公式及前n项和. 解析： （1）因为，所以 以上两式等号两边分别相减，得 即，变形得 因为 ，所以 由此可知，数列是公比为2的等比数列. 由,, 所以,所以, 所以. （2） ，所以 将 代入得 由此可知，数列是公差为的等差数列，它的首项， 故. （3），所以
8、当n≥2时， ∴ 由于也适合此公式， 故所求的前n项和公式是.
