专题11 在转化中证明空间垂直关系-备战2020年高考数学规律方法专练.docx

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1、在转化中证明空间垂直关系空间中的各种垂直关系是高中数学的重要内容．在高考中着重考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的证明，这就需要利用线面垂直、面面垂直的判定定理及其性质，运用三者之间的转化关系．1．证明线面垂直证明线面垂直通常有两种方法：一是利用线面垂直的判定定理，由线线垂直得到线面垂直；二是利用面面垂直的性质定理，由面面垂直得到线面垂直．例1　如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为点N.求证：AN⊥平面PBM.[来源:学科网ZXXK]【解析】　因为PA垂直于圆O所在的平面，所以PA⊥BM.因为M是圆周上一点，所以BM⊥AM.又因为PA∩AM＝A

2、，所以BM⊥平面PAM.所以BM⊥AN.[来源:学+科+网Z+X+X+K]又因为AN⊥PM，PM∩BM＝M，所以AN⊥平面PBM.【评注】　本题是考查线面垂直很好的载体，它融合了初中所学的圆的特征，在求解时要注意线线、线面垂直关系的转化．2．证明面面垂直证明面面垂直一般有两种方法：一是利用面面垂直的定义，通过求二面角的平面角为直角而得到，这种方法在证明面面垂直时应用较少；二是利用面面垂直的判定定理由线面垂直得到面面垂直．例2　如图，△ABC为等边三角形，EC⊥平面ABC，BD∥EC，且EC＝CA＝2BD，M是EA的中点．(1)求证：DE＝DA；[来源:学*科*网](2)求证：平面BDM⊥平面E

3、CA.【解析】　(1)如图，取EC的中点F，连接DF，易知DF∥BC.因为EC⊥BC，所以DF⊥EC.在Rt△EFD和Rt△DBA中，因为EF＝EC＝BD，FD＝BC＝AB，所以Rt△EFD≌Rt△DBA.所以DE＝DA.(2)如图，取CA的中点N，连接MN，BN，则MN∥EC，且MN＝EC.又EC∥BD，且BD＝EC，所以MN∥BD，且MN＝BD.所以四边形BDMN是平行四边形．所以点N在平面BDM内．因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN.又CA⊥BN，EC∩CA＝C，所以BN⊥平面ECA.[来源:Zxxk.Com]因为BN⊂平面MNBD，所以平面BDM⊥平面ECA.【评注】　在证明面面垂直

4、时通常转化为证明线面垂直的问题．3．证明线线垂直证明线线垂直，往往根据线面垂直的性质，即如果一条直线垂直于一个平面，那么它和这个平面内的任意一条直线垂直．例3　如图，已知平面α∩平面β＝CD，EA⊥α，EB⊥β，垂足分别为A，B，求证：CD⊥AB.[来源:Zxxk.Com]【解析】　因为EA⊥α，CD⊂α，所以CD⊥EA.又因为EB⊥β，CD⊂β，所以EB⊥CD.又因为EA∩EB＝E，所以CD⊥平面ABE.因为AB⊂平面ABE，CD⊄平面ABE，所以CD⊥AB.【评注】　证明空间中的垂直关系的问题时，经常要用到化归与转化的数学思想，主要体现在线线垂直、线面垂直、面面垂直证明的相互转化过程之中．

5、其转化关系如下：