专题01 函数单调性、奇偶性联袂解题-备战2020年高考数学规律方法专练.docx

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1、函数单调性、奇偶性联袂解题单调性和奇偶性是函数的两个重要基本性质，二者之间有下面的密切联系：(1)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；(2)偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．巧妙地运用单调性和奇偶性的联系，可以轻松解决很多函数问题．下面分类举例说明．一、比较大小例1已知函数f(x)是偶函数，且在区间[0,1]上是减函数，则f(－0.5)、f(－1)、f(0)的大小关系是(　　)A．f(－0.5)＜f(0)＜f(－1)B．f(－1)＜f(－0.5)＜f(0)C．f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)D．f(－1)＜f(0)＜f(－0.5)[来源:学科网

2、ZXXK]【答案】　B[来源:学#科#网]【解析】　因为函数f(x)是偶函数，所以f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．又因为f(x)在区间[0,1]上是减函数，所以f(－1)＜f(－0.5)＜f(0)．【评注】　比较两个函数值大小时，如果两个自变量的值不在同一单调区间上，则需要利用奇偶性来进行转化．二、求函数最值例2若偶函数f(x)在区间[3,6]上是增函数且f(6)＝9，则它在区间[－6，－3]上(　　)A．最小值是9B．最小值是－9C．最大值是－9D．最大值是9【答案】　D[来源:学科网]【解析】　因为f(x)是偶函数且在区间[3,6]上是增函数，所

3、以f(x)在区间[－6，－3]上是减函数．因此，f(x)在区间[－6，－3]上最大值为f(－6)＝f(6)＝9.【评注】　应用单调性和奇偶性的联系求最值时，一定要确定是最大值还是最小值．三、解不等式例3若函数f(x)是奇函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f(－2)＝0，则x·f(x)＜0的解集是(　　)A．(－2,0)∪(0,2)B．(－∞，－2)∪(0,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2,0)∪(2，＋∞)【答案】　A【解析】　因为函数f(x)是奇函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f(－2)＝0，所以可画出符合条件的奇函数f(x)的图象，如图所示．因为

4、x·f(x)＜0，所以或结合图象，得到答案为A.【评注】　本题是单调性和奇偶性的综合应用，并且有较强的抽象性．只要抓住其对称性，分析图象的特点，画出符合条件的图象，就不难使问题得到解决．四、求参数的取值范围例4设定义在(－1,1)上的奇函数f(x)在[0,1)上单调递增，且有f(1－m)＋f(－2m)＜0，求实数m的取值范围．【解析】由于函数f(x)的定义域为(－1,1)，则有解得0＜m＜.又f(1－m)＋f(－2m)＜0，所以f(1－m)＜－f(－2m)．而函数f(x)为奇函数，则有f(1－m)＜f(2m－)．因为函数f(x)是奇函数，且在[0,1)上单调递增，所以函

5、数f(x)在定义域(－1,1)上单调递增，则有1－m＜2m－，解得m＞，故实数m的取值范围为(，)．[来源:学§科§网][来源:学*科*网Z*X*X*K]【评注】　本题通过函数奇偶性和单调性的定义及其相关特征解决问题，这是比较常见的题型之一．