2018高考数学一轮复习第三章不等式第15课基本不等式及其应用教师用书.doc

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1、第15课基本不等式及其应用[最新考纲]内容要求ABC基本不等式及其应用√1.基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.(2)等号成立的条件:当且仅当a=b.2.几个重要的不等式(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R);(2)+≥2(a,b同号且不为零);(3)ab≤2(a,b∈R);(4)2≤(a,b∈R).3.算术平均数与几何平均数设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.4.利用基本不等式求最值问题已知x

2、>0,y>0,则(1)如果xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2(简记:积定和最小).(2)如果x+y是定值q,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是(简记:和定积最大).1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y=x+的最小值是2.(  )(2)函数f(x)=cosx+,x∈的最小值等于4.(  )(3)x>0,y>0是+≥2的充要条件.(  )(4)若a>0,则a3+的最小值为2.(  )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2.

3、若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是________.(填序号)①a2+b2>2ab;②a+b≥2;③+>;④+≥2.④ [∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴①错误;对于②,③,当a<0,b<0时,明显错误.对于④,∵ab>0,∴+≥2=2.]3.若a,b都是正数,则的最小值为________.9 [∵a,b都是正数,∴=5++≥5+2=9,当且仅当b=2a>0时取等号.]4.若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a等于________.3 [当x>2时,x-

4、2>0,f(x)=(x-2)++2≥2+2=4,当且仅当x-2=(x>2),即x=3时取等号,即当f(x)取得最小值时,x=3,即a=3.]5.(教材改编)若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是__________m2.25 [设矩形的一边为xm,矩形场地的面积为y,则另一边为×(20-2x)=(10-x)m,则y=x(10-x)≤2=25,当且仅当x=10-x,即x=5时,ymax=25.]利用基本不等式求最值角度1 配凑法求最值 (1)已知x<,则f(x)=4x-2+的

5、最大值为________.【导学号:】(2)(2017·无锡模拟)若实数x,y满足x>y>0,且log2x+log2y=1,则的最小值为________.(1)1 (2)4 [(1)因为x<,所以5-4x>0,则f(x)=4x-2+=-+3≤-2+3=1.当且仅当5-4x=,即x=1时,等号成立.故f(x)=4x-2+的最大值为1.(2)由log2x+log2y=1得xy=2.∴==(x-y)+.又x>y,∴x-y>0.∴(x-y)+≥2=4,当且仅当x-y=,即x-y=2时等号成立.故的最小值为

6、4.]角度2 常数代换或消元法求最值 (1)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是________.(2)设a+b=2,b>0,则+取最小值时,a的值为________.(1)5 (2)-2 [(1)法一:由x+3y=5xy可得+=1,∴3x+4y=(3x+4y)=+++≥+=5.(当且仅当=,即x=1,y=时,等号成立),∴3x+4y的最小值是5.法二:由x+3y=5xy,得x=,∵x>0,y>0,∴y>.∴3x+4y=+4y=+4y=+·+4≥+2=5,当且仅当y=时等号成立

7、,∴(3x+4y)min=5.(2)∵a+b=2,∴+=+=+=++≥+2=+1,当且仅当=时等号成立.又a+b=2,b>0,∴当b=-2a,a=-2时,+取得最小值.]角度3 不等式的综合应用 (1)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值为________.(2)设f(x)=lnx,0p;④p=

8、r>q.(1)1 (2)② [==≤=1,当且仅当x=2y时等号成立,因此z=4y2-6y2+4y2=2y2,所以+-=-=-2+1≤1.(2)因为b>a>0,故>.又f(x)=lnx(x>0)为增函数,所以f>f(),即q>p.又r=(f(a)+f(b))=(lna+lnb)=ln=p,∴p=r

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