2018高考数学一轮复习第七章数列推理与证明热点探究课4数列与函数不等式教师用书.doc

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1、热点探究课(四)　数列与函数、不等式[命题解读]　数列在中学数学中既具有独立性，又具有较强的综合性，是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，从近五年江苏卷试题来看，数列常作为压轴大题，综合考查学生的推理论证能力．热点1　数列与函数的综合应用数列与函数的交汇一般体现在两个方面：一是以数列的特征量n，an，Sn等为坐标的点在函数图象上，可以得到数列的递推关系；二是数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．　已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N＋)

2、均在函数y＝f(x)的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，试求数列{bn}的前n项和Tn.【导学号：】[解]　(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.由f′(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2，所以f(x)＝3x2－2x.4分又因为点(n，Sn)(n∈N＋)均在函数y＝f(x)的图象上，所以Sn＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5；当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＝6×1－5，所以an＝6n－5(n∈N＋).6分(2)由(1)得

3、bn＝＝＝，9分故Tn＝＝＝.14分[规律方法]　解决此类问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理．[对点训练1]　设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N＋)．(1)证明：数列{bn}为等比数列；(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列{anb}的前n项和Sn.[解]　(1)证明：由已知，得bn＝2an>0

4、.当n≥1时，＝2an＋1－an＝2d，∴数列{bn}是首项为2a1，公比为2d的等比数列.4分(2)f(x)＝2x求导得f′(x)＝2xln2，∴f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－b2＝2a2ln2(x－a2)，令y＝0，得－b2＝(2a2ln2)×(x－a2)，x＝a2－，∴a2＝2.∴d＝2－1＝1，∴an＝n，bn＝2n.∴anb＝n·4n，8分其前n项和Sn＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n－1)·4n－1＋n·4n，①两边乘4，得4Sn＝1×42＋2×43＋3×44＋…＋(n－1)·4n＋n·4n＋1，②①－②，得Sn－4Sn＝4

5、＋42＋43＋…＋4n－n·4n＋1＝－n·4n＋1，∴Sn＝.14分热点2　数列与不等式的综合应用数列与不等式的交汇考查方式主要有三种：一是判断数列中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式恒成立问题；三是考查与数列有关的不等式的证明．　(2017·苏锡常镇调研一)已知首项为1的正项数列{an}满足a＋a

6、a1＋a2＋…＋ak＝120，求正整数k的最小值，以及k取最小值时相应数列a1，a2，…，ak(k≥3)的公差.【导学号：】[解]　(1)由题意得，4x2－15x＋9<0且x2－10x＋16<0，所以

7、a1，a2，…，ak成等差数列，a1＝1，∴[1＋(n－1)d]<1＋nd<2[1＋(n－1)d]，n＝1,2，…，k－1.∴∴d∈.14分又∵a1＋a2＋…＋ak＝120，∴Sk＝k2＋k＝k2＋k＝120，∴d＝，∴∈，解得k∈(15,239)，k∈N＋，∴k的最小值为16，此时公差为d＝.16分[规律方法]　解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法等．总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了．[对点训练

8、2]　已知等差数列{an}的前n项和为