2018高考数学一轮复习第七章数列推理与证明热点探究训练4数列与函数不等式.doc

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1、第七章数列、推理与证明热点探究训练4数列与函数、不等式A组　基础过关1．(2017·苏州期中)设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，且a1，a2＋5，a3成等差数列．(1)求a1，a2的值；(2)求证：数列{an＋2n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式．[解]　(1)由已知，得2a1＝a2－3　①，2(a1＋a2)＝a3－7　②，又因为a1，a2＋5，a3成等差数列，所以a1＋a3＝2a2＋10　③，解①②③，得a1＝1，a2＝54分(2)由已知，n∈N＋时，2(Sn＋1－Sn)＝an＋2－an＋1－2n＋2＋2n＋1，即an＋2

2、＝3an＋1＋2n＋1，即an＋1＝3an＋2n(n≥2)，8分由(1)得，a2＝3a1＋2，∴an＋1＝3an＋2n(n∈N＋)．从而有an＋1＋2n＋1＝3an＋2n＋2n＋1＝3an＋3×2n＝3(an＋2n)．又a1＋2>0，∴an＋2n>0，∴＝3.∴数列{an＋2n}是等比数列，且公比为3.∴an＋2n＝(a1＋2)×3n－1＝3n，即an＝3n－2n.14分2．(2017·泰州中学高三模底考试)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝t(Sn－an＋1)(t为常数，且t≠0，t≠1)．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝a＋Sn·an，若数列{

3、bn}为等比数列，求t的值；(3)在满足条件(2)的情形下，设cn＝4an＋1，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式≥2n－7对任意的n∈N＋恒成立，求实数k的取值范围.【导学号：】[解]　(1)当n＝1时，S1＝t(S1－a1＋1)，得a1＝t.当n≥2时，由Sn＝t(Sn－an＋1)，即(1－t)Sn＝－tan＋t，①得(1－t)Sn－1＝－tan－1＋t，②①－②，得(1－t)an＝－tan＋tan－1，即an＝tan－1，∴＝t(n≥2)，∴{an}是等比数列，且公比是t，∴an＝tn.4分(2)由(1)知，bn＝(tn)2＋·tn，即bn＝，若数列{bn

4、}为等比数列，则有b＝b1·b3，而b1＝2t2，b2＝t3(2t＋1)，b3＝t4(2t2＋t＋1)，故2＝(2t2)·t4(2t2＋t＋1)，解得t＝，再将t＝代入bn，得bn＝，由＝，知{bn}为等比数列，∴t＝.8分(3)由t＝，知an＝n，∴cn＝4n＋1，∴Tn＝4×＋n＝4＋n－，由不等式≥2n－7恒成立，得3k≥恒成立，设dn＝，由dn＋1－dn＝－＝，∴当n≤4时，dn＋1>dn，当n≥4时，dn＋1

5、等比数列，则称{an}为“等比源数列”．(1)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－1.①求数列{an}的通项公式；②试判断数列{an}是否为“等比源数列”，并证明你的结论．(2)已知数列{an}为等差数列，且a1≠0，an∈Z(n∈N＋)．求证：{an}为“等比源数列”.【导学号：】[解]　(1)①由an＋1＝2an－1，得an＋1－1＝2(an－1)，且a1－1＝1，所以数列{an－1}是首项为1，公比为2的等比数列．所以an－1＝2n－1.所以，数列{an}的通项公式为an＝2n－1＋1.4分②数列{an}不是“等比源数列”．用反证法证明如下：假设数

6、列{an}是“等比源数列”，则存在三项am，an，ak(m

7、}不是“等比源数列”.10分(2)不妨设等差数列{an}的公差d≥0.当d＝0时，等差数列{an}为非零常数数列，数列{an}为“等比源数列”．当d>0时，因为an∈Z，则d≥1，且d∈Z，所以数列{an}中必有一项an>0.为了使得{an}为“等比源数列”，只需要{an}中存在第n项，第k项(m