2018高考数学一轮复习第九章平面解析几何第47课椭圆的方程及几何性质教师用书.doc

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1、第47课椭圆的方程及几何性质[最新考纲]内容要求ABC中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质√1．椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．(2)集合P＝{M

2、MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a>F1F2时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝F1F2时，M点的轨迹为线段F1F2；③当2ab>0)＋＝1(a>b>0

3、)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)离心率e＝，且e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b21．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　)(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半

4、焦距)．(　　)(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　)(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√2．(教材改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是________．＋＝1　[椭圆的焦点在x轴上，c＝1.又离心率为＝，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，故椭圆的方程为＋＝1.]3．(2015·广东高考改编)已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝________.3　[由左焦点为F1(－4,0)知c＝4.又a＝5，∴25－

5、m2＝16，解得m＝3或－3.又m>0，故m＝3.]4．(2016·全国卷Ⅰ改编)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为________．　[如图，OB为椭圆中心到l的距离，则OA·OF＝AF·OB，即bc＝a·，所以e＝＝.]5．椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是__________．3　[直线x＝m过右焦点(1,0)时，△FAB的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a＝8，即a＝2，此时，AB＝2×＝＝3，∴S△FAB＝×2×3＝

6、3.]椭圆的定义及应用　(1)如图471所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是________．(2)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝__________.图471(1)椭圆　(2)3　[(1)由条件知PM＝PF.∴PO＋PF＝PO＋PM＝OM＝R>OF.∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．(2)由定义，PF1＋PF2＝2a，且⊥，∴PF＋PF＝F1F＝

7、4c2，∴(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2＝4c2，∴2PF1·PF2＝4a2－4c2＝4b2，∴PF1·PF2＝2b2.∴S△PF1F2＝PF1·PF2＝×2b2＝9，因此b＝3.][规律方法]　(1)利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>F1F2这一条件．(2)当涉及到焦点三角形有关的计算或证明时，常利用勾股定理、正(余)弦定理、椭圆定义，但一定要注意PF1＋PF2与PF1·PF2的整体代换．[变式训练1]　与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________.

8、【导学号：】＋＝1　[设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有PC1＝r＋1，PC2＝9－r.所以PC1＋PC2＝10>C1C2，即P在以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为＋＝1.]求椭圆的标准方程　(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为____________．(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则椭圆的方程为________．(1)＋y2＝1或＋＝1　(2)＋＝1　[(1)若焦点在x轴上，设方

9、程为＋＝1(a>b>0)，∵椭圆过P(3,0)，∴＋＝1，即a＝3，又2a＝3×2b，∴b＝1，方程为＋y2＝1.若焦点在y轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)．∵椭