2018高考数学一轮复习第五章三角函数解三角形第23课两角和与差的正弦余弦和正切公式教师用书.doc

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1、第23课两角和与差的正弦、余弦和正切公式[最新考纲]内容要求ABC两角和(差)的正弦、余弦及正切√1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；(2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；(3)tan(α±β)＝.2．有关公式的变形和逆用(1)公式T(α±β)的变形：①tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)；②tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．3．辅助角公式asinα

2、＋bcosα＝sin(α＋φ).1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(　　)(2)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定．(　　)(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．(　　)(4)公式asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3

3、)×　(4)×2．(教材改编)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝________.　[sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝.]3．(2017·苏州模拟)若α∈(0，π)，cosα＝－，则tan＝________.　[∵α∈(0，π)，cosα＝－，∴sinα＝＝，∴tanα＝－.∴tan＝＝＝.]4．若sinα＋cosα＝1，且α∈，则α＝________.　[∵sinα＋co

4、sα＝2sin＝1，∴sin＝，又α∈，∴α＋＝，∴α＝.]5．若tanα＝，tan(α＋β)＝，则tanβ＝________.　[tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.]三角函数公式的基本应用　(2014·江苏高考)已知α∈，sinα＝.(1)求sin的值；(2)求cos的值．[解]　(1)因为α∈，sinα＝，所以cosα＝－＝－.故sin＝sincosα＋cossinα＝×＋×＝－.(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，所以cos

5、＝coscos2α＋sinsin2α＝×＋×＝－.[规律方法]　1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．2．使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．[变式训练1]　(1)若α∈，tan＝，则sinα＝________.(2)已知cos＝－，则cosx＋cos的值是________．(1)　(2)－1　[(1)∵tan＝＝，∴tanα＝－＝，∴cosα＝－sinα.又∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝.又∵α∈，∴sinα＝.(2)cosx＋cos＝cosx＋co

6、sx＋sinx＝cosx＋sinx＝＝cos＝－1.]三角函数公式的逆用及变形应用　(1)若锐角α，β满足tanα＋tanβ＝－tanαtanβ，则α＋β＝________.【导学号：】(2)sin50°(1＋tan10°)＝________.(1)　(2)1　[(1)∵tan(α＋β)＝＝＝.又α，β∈，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.(2)sin50°(1＋tan10°)＝sin50°＝sin50°×＝sin50°×＝＝＝＝1.][规律方法]　1.逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用

7、公式．2．tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．[变式训练2]　(1)sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)的值为________．(2)在斜三角形ABC中，sinA＝－cosB·cosC，且tanB·tanC＝1－，则角A的值为________．(1)　(2)　[(1)原式＝sin(65°－x)·cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos

8、[90°－(x－20°)]＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin45°＝.(2)由题意知：sinA＝－cosB·cosC＝sin(B＋C)＝sinB·cosC＋cosB·sinC，在等式两边同除以cosB·cosC得tanB＋tanC＝－，又tan(B＋C)＝＝－1＝－tanA，所以A＝.]角的变换问题　(1)设α，β都是锐角，且