2018高考数学一轮复习第四章导数及其应用第19课导数与函数不等式的综合问题教师用书.doc

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1、第19课导数与函数、不等式的综合问题[最新考纲]内容要求ABC利用导数研究函数的零点问题√利用导数证明不等式√最值与不等式各类不等式与函数最值的关系如下表：不等式类型与最值的关系任意的x∈D，f(x)>M任意的x∈D，f(x)min>M任意的x∈D，f(x)M任意的x∈D，f(x)max>M存在x∈D，f(x)g(x)任意的x∈D，[f(x)－g(x)]min>0任意的x∈D，f(x)

2、[f(x)－g(x)]max<0任意的x1∈D1，任意的x2∈D2，f(x1)>g(x2)任意的x∈D1，任意的x∈D2，f(x)min>g(x)max任意的x1∈D1，存在x2∈D2，f(x1)>g(x2)任意的x∈D1，任意的x∈D2，f(x)min>g(x)min存在x1∈D1，任意的x2∈D2，f(x1)>g(x2)任意的x∈D1，任意的x∈D2，f(x)max>g(x)max存在x1∈D1，存在x2∈D2，f(x1)>g(x2)任意的x∈D1，任意的x∈D2，f(x)max>g(x)min1．(思考辨析)判断下列结

3、论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式f(x)≥g(x)对∀x∈R恒成立，等价于f(x)min>g(x)max.(　　)(2)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象与x轴最多有3个交点，最少有一个交点．(　　)(3)函数F(x)＝f(x)－g(x)的最小值大于0，则f(x)＞g(x)．(　　)(4)“存在x∈(a，b)，使f(x)≥a”与“任意x∈(a，b)，使f(x)≥a”，这两个说法相同．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×2．(教材改编)若函数y＝m与y＝3x－x3的图象有三个

4、不同的交点，则实数m的取值范围为________．(－2,2)　[y′＝3(1－x)(1＋x)，令y′＝0，得x＝±1，所以y极大值＝2，y极小值＝－2，作出函数y＝3x－x3和y＝m的大致图象(如图)，根据图象知－2

5、＞，则方程lnx－ax＝0的实根的个数为________．0　[方程lnx－ax＝0等价于＝a，设f(x)＝.∵f′(x)＝＝，令f′(x)＝0，得x＝e，∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．∴f(x)的最大值f(e)＝，∴f(x)＝≤(仅当x＝e时，等号成立)．∵a＞，∴原方程无实根．]5．定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)满足f′(x)＞1，且f(2)＝3，则关于x的不等式f(x)＜x＋1的解集为________．(－∞，2)　[由f′(x)＞1得f′(x)－1＞0，即(f(x)－x)′

6、＞0，故函数g(x)＝f(x)－x单调递增，不等式f(x)＜x＋1，即f(x)－x＜1＝f(2)－2，即g(x)＜g(2)，所以x＜2.]用导数解决与不等式有关的问题角度1　解不等式　(2017·苏州模拟)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，且当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________.【导学号：】(－∞，－1)∪(0,1)　[记函数g(x)＝，则g′(x)＝，因为当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，故当x>0时，g′(x)<0，所以g(

7、x)在(0，＋∞)上单调递减；又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，且g(－1)＝g(1)＝0.当00，则f(x)>0；当x<－1时，g(x)<0，则f(x)>0，综上所述，使f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．]角度2　证明不等式　(2015·福建高考节选)已知函数f(x)＝lnx－.(1)证明：当x>1时，f(x)1，当x∈(1，x0)时，恒有f(x)>k(x

8、－1)．[解]　(1)证明：令F(x)＝f(x)－(x－1)，x∈(0，＋∞)，则有F′(x)＝.当x∈(1，＋∞)时，F′(x)<0，所以F(x)在[1，＋∞)上单调递减，故当x>1时，F(x)1时，f(x)1满