2019届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第3讲两角和与差的正弦余弦和正切公式分层演练直击高考文.doc

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1、第3讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．已知sin(＋α)＝，－<α<0，则cos(α－)的值是________．[解析]由已知得cosα＝，sinα＝－，所以cos(α－)＝cosα＋sinα＝－.[答案]－2．若sin＝，则cos2θ＝________．[解析]因为sin＝cosθ＝，所以cos2θ＝2cos2θ－1＝2×－1＝－.[答案]－3．在△ABC中，tanB＝－2，tanC＝，则A＝________．[解析]tanA＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝－＝－＝1.故A＝.[答案]4．设tan(α＋β)＝，tan＝，

2、则tan＝________.　[解析]tan＝tan＝＝＝.[答案]5．(2018·重庆巴蜀中学期中改编)在△ABC中，若(tanB＋tanC)＝tanBtanC－1，则sin2A＝________．[解析]由(tanB＋tanC)＝tanBtanC－1得tan(B＋C)＝＝－，又因为B，C为三角形内角，所以B＋C＝150°，A＝30°，2A＝60°，所以sin2A＝.[答案]6．(2018·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(一))若coscos＝－，α∈，则sin2α＝________.[解析]coscos＝·＝－，则cos2α＋sin2α＝－

3、，可得又α∈，解得cos2α＝－，sin2α＝.[答案]7.＝________．[解析]原式＝＝＝＝＝＝－4.[答案]－48．设θ为第二象限角，若tan(θ＋)＝，则sinθ＋cosθ＝________．[解析]法一：由θ在第二象限，且tan(θ＋)＝，因而sin(θ＋)＝－，因而sinθ＋cosθ＝sin(θ＋)＝－.法二：如果将tan(θ＋)＝利用两角和的正切公式展开，则＝，求得tanθ＝－.又因为θ在第二象限，则sinθ＝，cosθ＝－，从而sinθ＋cosθ＝－＝－.[答案]－9．(2018·苏锡常镇四市高三调研)已知sinα＝3si

4、n，则tan＝________．解析：由sinα＝3sin得2sinα＝3sinα＋3cosα，则(2－3)sinα＝3cosα，tanα＝＝＝－，又tan＝tan＝＝＝2－，所以tan＝＝＝2－4.答案：2－410．若0<α<，－<β<0，cos(＋α)＝，cos(－)＝，则cos(α＋)＝________．[解析]因为0<α<，－<β<0，所以<＋α<，<－<，所以sin(＋α)＝＝，sin(－)＝＝，所以cos(α＋)＝cos[(＋α)－(－)]＝cos(＋α)cos(－)＋sin(＋α)sin(－)＝.[答案]11．已知tanα＝－，

5、cosβ＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．[解]由cosβ＝，β∈，得sinβ＝，tanβ＝2.所以tan(α＋β)＝＝＝1.因为α∈，β∈，所以<α＋β<，所以α＋β＝.12．已知函数f(x)＝cos2x＋sinxcosx，x∈R.(1)求f()的值；(2)若sinα＝，且α∈(，π)，求f(＋)．[解](1)f()＝cos2＋sincos＝()2＋×＝.(2)因为f(x)＝cos2x＋sinxcosx＝＋sin2x＝＋(sin2x＋cos2x)＝＋sin(2x＋)，所以f(＋)＝＋sin(α＋＋)＝＋sin(α＋)

6、＝＋(sinα＋cosα)．因为sinα＝，且α∈(，π)，所以cosα＝－，所以f(＋)＝＋(×－×)＝.1．(2018·江苏省四校联考)已知sin2α＝，则－的值为________．[解析]因为－＝－＝＝＝3.[答案]32．化简＝________．[解析]原式＝＝＝＝cos2x.[答案]cos2x3．(2018·江苏省模拟考试)已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝，则tanα的最大值是________．[解析]由cos(α＋β)＝得sinα＝sinβcos(α＋β)，即sinα＝sinβcosαcosβ－sin2βsinα，所以sin

7、α(1＋sin2β)＝sinβcosαcosβ，可以化为＝，即tanα＝，也可以化为tanα＝＝，因为β为锐角，所以tanβ>0，所以tanα＝≤＝(当且仅当2tanβ＝，即tanβ＝时取等号)，即tanα的最大值为.[答案]4．如图所示，点B在以PA为直径的圆周上，点C在线段AB上，已知PA＝5，PB＝3，PC＝，设∠APB＝α，∠APC＝β，α，β均为锐角，则角β的值为________．[解析]因为点B在以PA为直径的圆周上，所以∠ABP＝90°，所以cosα＝＝，sinα＝，tanα＝.因为cos∠CPB＝cos(α－β)＝＝＝，所以s

8、in(α－β)＝，所以tan(α－β)＝，tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝1.又β∈，所以β＝.[答案]5．已知α∈，且sin＋cos＝.(1)求cosα的值