2019届高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第1讲平面向量的概念与线性运算分层演练直击高考文.doc

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1、第1讲平面向量的概念与线性运算1.下列等式:①0-a=-a;②-(-a)=a;③a+(-a)=0;④a+0=a;⑤a-b=a+(-b).正确的个数是________个.[解析]a+(-a)=0,故③错.[答案]42.(2018·盐城模拟)给出以下命题:①对于实数p和向量a,b,恒有p(a-b)=pa-pb;②对于实数p,q和向量a,恒有(p-q)a=pa-qa;③若pa=pb(p∈R),则a=b;④若pa=qa(p,q∈R,a≠0),则p=q.其中正确命题的序号为________.[解析]根据实数与向量乘积的定义及其运算律可知

2、,①②④正确;③不一定成立,因为当p=0时,pa=pb=0,而不一定有a=b.[答案]①②④3.如图,已知=a,=b,=3,用a,b表示,则=________. [解析]因为=-=a-b,又=3,所以==(a-b),所以=+=b+(a-b)=a+b.[答案]a+b4.已知D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,给出下列命题:①=a-b;②=a+b;③=-a+b;④++=0.其中正确命题的个数为________.[解析] =a,=b,=+=-a-b,故①错;=+=a+b,故②正确;=(+)=(-a+b)

3、=-a+b,故③正确;所以++=-b-a+a+b+b-a=0.所以正确命题为②③④.[答案]35.若

4、

5、=

6、

7、=

8、-

9、=2,则

10、+

11、=________.[解析]因为

12、

13、=

14、

15、=

16、-

17、=2,所以△ABC是边长为2的正三角形,所以

18、+

19、为△ABC的边BC上的高的2倍,所以

20、+

21、=2.[答案]26.在▱ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则=________(用a,b表示).[解析]由=3得4=3=3(a+b),=a+b,所以=(a+b)-=-a+b.[答案]-a+b7.(2018·河北省冀州中学高三月考改编)若O是△AB

22、C所在平面内一点,且满足

23、-

24、=

25、+-2

26、,则△ABC的形状为________.[解析]根据题意有

27、-

28、=

29、-+-

30、,即

31、+

32、=

33、-

34、,从而得到⊥,所以三角形为直角三角形.[答案]直角三角形8.已知a,b是两个不共线的非零向量,且a与b起点相同,若a,tb,(a+b)三向量的终点在同一直线上,则t=________.[解析]因为a,tb,(a+b)三向量的终点在同一条直线上,且a与b起点相同.所以a-tb与a-(a+b)共线.即a-tb与a-b共线.所以存在实数λ,使a-tb=λ,所以解得λ=,t=,即t=时,a,tb,(a+

35、b)三向量的终点在同一条直线上.[答案]9.已知点P在△ABC所在的平面内,若2+3+4=3,则△PAB与△PBC的面积的比值为________.[解析]由2+3+4=3,得2+4=3+3,所以2+4=3,即4=5.所以=,P点在边AC上,且=,设△ABC中,AC边上的高为h,则===.[答案]10.在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2,BC=2,点E在线段CD上,若=+μ,则μ的取值范围是________.[解析]由题意可求得AD=1,CD=,所以=2.因为点E在线段CD上,所以=λ(0≤λ≤1).因为

36、=+,又=+μ=+2μ=+,所以=1,即μ=.因为0≤λ≤1,所以0≤μ≤.[答案]11.设i,j分别是平面直角坐标系Ox,Oy正方向上的单位向量,且=-2i+mj,=ni+j,=5i-j,若点A,B,C在同一条直线上,且m=2n,求实数m,n的值.[解]=-=(n+2)i+(1-m)j,=-=(5-n)i-2j.因为点A,B,C在同一条直线上,所以∥,从而存在实数λ使得=λ.即(n+2)i+(1-m)j=λ[(5-n)i-2j].所以解得或12.已知O,A,B是不共线的三点,且=m+n(m,n∈R).(1)若m+n=1,求证

37、:A,P,B三点共线;(2)若A,P,B三点共线,求证:m+n=1.[证明](1)若m+n=1,则=m+(1-m)=+m(-),所以-=m(-),即=m,所以与共线.又因为与有公共点B,所以A,P,B三点共线.(2)若A,P,B三点共线,则与共线,故存在实数λ,使=λ,所以-=λ(-).又=m+n,故有m+(n-1)=λ-λ,即(m-λ)+(n+λ-1)=0.因为O,A,B不共线,所以,不共线,所以所以m+n=1.

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