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《2019版高考数学一轮复习第二十一章概率统计21.3离散型随机变量的均值与方差讲义.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§21.3 离散型随机变量的均值与方差五年高考考点 离散型随机变量的均值与方差1.(2014浙江,12,5分)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,则D(ξ)= . 答案 2.(2017北京理,17,13分)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人
2、,记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ);(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)解析 (1)由题图知,在服药的50名患者中,指标y的值小于60的有15人,所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y的值小于60的概率为=0.3.(2)由题图知,A,B,C,D四人中,指标x的值大于1.7的有2人:A和C.所以ξ的所有可能取值为0,1,2.P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==.所以ξ的分布列为ξ012P故ξ的期望E(ξ)=0×+
3、1×+2×=1.(3)在这100名患者中,服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.3.(2017江苏,23,10分)已知一个口袋中有m个白球,n个黑球(m,n∈N*,n≥2),这些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,…,m+n).123…m+n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P;(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明:E(X)<.解析 (1)编号为2的抽
4、屉内放的是黑球的概率P==.(2)证明:随机变量X的概率分布为X……P……随机变量X的期望为:E(X)=·=·.所以E(X)<==(1+++…+)=(+++…+)=(++…+)=…=(+)==,即E(X)<.4.(2017天津理,16,13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,.(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.解析 (1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X
5、=0)=××=,P(X=1)=×1-×1-+1-××1-+××=,P(X=2)=××+××+××=,P(X=3)=××=.所以,随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)=×+×=.所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为.5.(2016天津理,16,13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义
6、工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.解析 (1)由已知,有P(A)==.所以,事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.所以,随机变量X的分布列为X012P随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×=1.6.(2015北京,16,13分)A,B两组
7、各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:A组:10,11,12,13,14,15,16;B组:12,13,15,16,17,14,a.假设所有病人的康复时间互相独立,从A,B两组随机各选1人,A组选出的人记为甲,B组选出的人记为乙.(1)求甲的康复时间不少于14天的概率;(2)如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;(3)当a为何值时,A,B两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)解析 设事件Ai为“甲是A组的第i个人”,事件Bj为“乙是B组的第j个人”,i,j=1,2,…,7.由题意可知P(Ai)=
8、P(Bj)=,i,j=1,2,…,7.(1)由题意知,事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人,或者第6人,或者第7人”,所以甲的康复时间不少于14
