高三数学 2.3 函数的奇偶性与周期性学案 新人教A版.doc

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1、2.3 函数的奇偶性与周期性1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【思

2、考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)=0,x∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数.( × )(2)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称.( √ )(3)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.( √ )(4)若函数f(x)=为奇函数,则a=2.( √ )(5)函数f(x)在定义域上满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)是周期为2a的周期函数.( √ )(6)函数f(x)为R上的奇函数,且f(x+2)=f(x),则f(2016)=0.( √ )1.(2013·山东)已知函

3、数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+,则f(-1)等于(  )A.-2B.0C.1D.2答案 A解析 f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2.2.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是(  )A.-B.C.D.-答案 B解析 依题意b=0,且2a=-(a-1),∴a=,则a+b=.3.(2014·四川)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时,f(x)=则f()=________.答案 1解析 函数的周期是2,所以f()=f(-2)=f(-),根据题意得f(-)=-4×(-)2+2=1.4.设函数f(x)是定

4、义在R上的奇函数,若当x∈(0,+∞)时,f(x)=lgx,则满足f(x)>0的x的取值范围是________.答案 (-1,0)∪(1,+∞)解析 画草图,由f(x)为奇函数知:f(x)>0的x的取值范围为(-1,0)∪(1,+∞).题型一 判断函数的奇偶性例1 判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x3-x;(2)f(x)=(x+1);(3)f(x)=解 (1)定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x),所以函数为奇函数.(2)由≥0可得函数的定义域为(-1,1].∵函数定义域不关于原点对称,∴函数为非奇非偶函数.(3)当x

5、>0时,-x<0,f(x)=-x2+x,∴f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x);当x<0时,-x>0,f(x)=x2+x,∴f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-(x2+x)=-f(x).所以对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),均有f(-x)=-f(x).∴函数为奇函数.思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤:(2)在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. (1)若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则(  )A.

6、f(x)与g(x)均为偶函数B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数C.f(x)与g(x)均为奇函数D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-3,则f(-2)等于(  )A.1B.-1C.D.-答案 (1)B (2)B解析 (1)由f(-x)=3-x+3x=f(x)可知f(x)为偶函数,由g(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-g(x)可知g(x)为奇函数.(2)∵f(2)=22-3=1.又f(x)为奇函数,∴f(-2)=-f(2)=-1.题型二 函数周期性的应用例2 (1)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)

7、=f(x),当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2015)等于(  )A.335B.336C.1678D.2012(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x+2)=-,当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5)=______.答案 (1)B (2)2.5解析 (1)利用函数的周期性求解.∵f(x+6)=f(x),∴T=6.∵当-3≤x<-1时,f(x

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