高三数学 2.1数学归纳法及其应用举例(第二课时)大纲人教版选修.doc

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1、【精品】高三数学2.1数学归纳法及其应用举例(第二课时)大纲人教版选修课　　题§2.1.2　数学归纳法(二)教学目标一、教学知识点1.深入理解数学归纳法原理和证明问题的步骤.数学归纳法是一种用于证明与自然数有关的命题的正确性的证明方法.2.让学生理解运用数学归纳法的关键为什么是第二步,而缺少第一步是不对的.3.理解并掌握递推思想在解决问题中的重要作用.二、能力训练要求1.能灵活运用数学归纳法证明有关等式和不等式问题.2.会用递推思想解决实际问题.三、德育渗透目标1.培养学生分类思想、递推思想、函数与方程思想、化归思想等数学思想方法.2.培养学生观察

2、问题、分析问题和解决问题的实际操作能力.3.引导学生发展、探索创新能力,培养学生的有效的学习方式,使学生由“学会”到“会学”,教会学生掌握自学的方法.教学重点数学归纳法原理及其运用是本课时的教学重点.数学归纳法的基本思想,即先验证使结论成立(有意义)的最小的正整数n0,如果当n=n0时,命题成立,再假设当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立(这时命题是否成立不是确定的),根据这个假设,如能推出当n=k+1时,命题也成立,那么就可以递推出对于所有不小于n0的正整数n0+1,n0+2,n0+3,…命题都成立,所以说第二步是数学归纳法运用的重点.教学难点

3、数学归纳法的应用是这节课的教学难点，特别是应用数学归纳法证明有关等式或不等式中的第二步的代数式变换是一个难点，学生不知道使用整式变形的知识.教学方法建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方式.在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法.目的是在于加强学生对教学过程的参与程度.为了使这种参与有一定的智能度,教师应做好发动、组织、引导、协调和点拨.学生的思维参与往往是从问题开始的.尽快提出适当的问题,并提出思维的要求,让学生尽快地投入到思维活动中来,引导学生用已学的知识、方法予以解决,并获得新的发展,从而实现了建构主义的最终的要求.教具准备实物投影仪(

4、或幻灯机、幻灯片)幻灯片记作：(§2.1.2A)请看问题1：用数学归纳法证明等式2+4+6…+2n=n2+n+1.如采用下面的证法,对吗？证明：(1)(略).(2)假设n=k时,等式成立,就是2+4+6+…+2k=k2+k+1,那么,2+4+6+…+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k2+2k+1)+k+2=(k+1)2+(k+1)+1.所以当n=k+1时,等式也成立.由(1)(2),可知等式对于一切自然数n∈N*都成立.幻灯片记作：(§2.1.2B)用数学归纳法证明：(n∈N*).如采用下面的证明方法,对吗？为什么？证明：(1

5、)当n=1时,左边,右边,∴等式成立.(2)假设当n=k时,等式成立,即,则当n=k+1时,,即n=k+1时,等式也成立.由(1)(2),可知对于任意自然数n∈N*,原等式都成立.教学过程Ⅰ.课题导入［师］上节课我们已经学习了数学归纳法以及运用数学归纳法解题(证明题)的步骤,请同学说出数学归纳法的步骤.［生1］数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题P(n)的一种方法.(1)证明当n=n0时〔n0是使命题P(n)成立的第一个值〕,命题正确,即P(n0)正确；(2)假设n=k(k∈N且k≥n0)时,结论成立,即P(k)成立,证明当n=k+1时,结论也

6、成立,也就是P(k)P(k+1).根据(1)(2),就可以判定命题P(n)对从n0开始的所有自然数都成立.［师］请同学们看投影上的问题1.(打出幻灯片§2.1.2A,请学生阅读)［生2］证明过程正确.［生3］证明过程不正确.因为缺少第一步,而这个等式本身就是错误的,所以证明过程是不正确的.事实上,当n=1时,上式左边=2,右边=12+1+1=3,左边≠右边,所以不对.［师］回答得很好！这个问题说明如果缺少步骤(1)这个基础,步骤(2)就没有意义了,也就是失去了递推的基础,只有第一步和第二步结合在一起,才能得出普遍性结论.再看问题2.(打出幻灯片§

7、2.1.2B,仍然由学生阅读)［生4］证明过程正确,两步都证明了.［生5］这是不正确的.因为递推思想要求的不是n=k,n=k+1时命题到底成立不成立,而是n=k时命题成立作为条件能否保证n=k+1时这个结论正确,即要求的这种逻辑关系是否成立.证明的主要部分应改为［师］完全正确.用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可.在第(2)步中,n=k时命题成立,可作为条件加以运用,而n=k+1时的情况则有待利用归纳假设及已知的定义、公式、定理等加以证明.不能直接将n=k+1代入命题,也不能直接用求和公式证明(如问题2).这节课我们将学习怎样运用数

8、学归纳法证明恒等式和不等式(板书课题).Ⅱ.讲授新课1.课本例题［师］在明确数学归纳法本质的基础上,我们来共