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1、四川省古蔺县中学高三数学复习学案：2.4指数函数【高考目标导航】一、考纲点击1．了解指数函数模型的实际背景；2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点；4．知道指数函数是一类重要的函数模型。二、热点、难点提示1．指数函数的概念、图象与性质是近几年高考的热点；2．通过具体问题考查指数函数的图象与性质，或利用指数函数的图象与性质解决一些实际问题是重点，也是难点，同时考查分类讨论思想和数形结合思想；3．题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交汇则以解
2、答题的形式出现。【考纲知识梳理】1．根式（1）根式的概念根式的概念符号表示备注如果,那么叫做的次方根当为奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数零的次方根是零当为偶数时,正数的次方根有两个,它们互为相反数负数没有偶次方根（2）．两个重要公式①；②。2．有理数指数幂（1）幂的有关概念①正整数指数幂:;②零指数幂:;③负整数指数幂:④正分数指数幂:;⑤负分数指数幂:⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。（2）有理数指数幂的性质①aras=ar+s(a>
3、0,r、s∈Q);②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q);③(ab)r=arbs(a>0,b>0,r∈Q);.3．指数函数的图象与性质注：如图所示，是指数函数（1）y=ax,（2）y=bx,（3）,y=cx（4）,y=dx的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。【要点名师透析】一、指数幂的化简与求值1．相关链接指数幂的化简与求值的原则及结果要求（1）化简
4、原则①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序.注：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于0，否则不能用性质运算。（2）结果要求①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示；③结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂。2．例题解析〖例1〗（1）化简：；（2）计算：分析：（1）因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂，先化为分数指数幂以便用法则运算。（2）题目中给出的是分数指数幂，先看其是否符合运算法则的条件，如符合用法则进行下去，
5、如不符合应再创设条件去求。解：（1）原式=；（2）原式=〖例2〗已知，求的值解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴二、指数函数的图象及应用1．相关链接（1）图象的变换（2）从图象看性质函数的图象直观地反映了函数的基本性质①图象在x轴上的身影可得出函数的定义域；②图象在y轴上的身影可得出函数的值域；③从左向右看，由图象的变化得出增减区间，进而得出最值；④由图象是否关于原点（或y轴）对称得出函数是否为奇（偶）函数；⑤由两个图象交战的横坐标可得方程的解。2．例题解析〖例〗已知函数y=()
6、x+1
7、。作出图象；由图象指出其单调区间；由图象指出当x取
8、什么值时函数有最值。分析：化去绝对值符号将函数写成分段函数的形式作图象写出单调区间写出x的取值。解答：（1）由已知可得其图象由两部分组成：一部分是：另一部分是：图象如图：（2）由图象知函数在上是增函数，在上是减函数。（3）由图象知当时，函数有最大值1，无最小值。三、指数函数的性质1、相关链接（1）与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法①函数y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同；②先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，可确定y=af(x)的值域；（2）与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤①求复合函数的定
9、义域；②弄清函数是由哪些基本函数复合而成的；③分层逐一求解函数的单调性；④求出复合函数的单调区间（注意“同增异减”）。2、例题解析〖例1〗已知函数f(x)=ax+(a>1)，求证：(1)函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数；(2)方程f(x)=0没有负数根.思路解析：】(1)是证明函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数，由于在条件中已知函数的解析式，所以可以考虑直接用增函数的定义证明；(2)方程f(x)=0没有负数根，它是一个否命题，直接证明有一定的难度，可用反证法证明.解答：（1）设，则（2）假设是方程f(0)=0的负数根，且≠-1，
10、则，即，①当时，，而由知。∴①式不成立；当＜-1时，+1＜0，∴，∴而。∴①式不成立。综上所述，方程f(x)=0没有负数根〖例2〗如果函数f(x)=ax(ax-3a2-1)(a>0且a≠1)在
