高三数学 8.5直线与椭圆复习导学案.doc

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1、山东省高密市第三中学高三数学8.5直线与椭圆复习导学案一、教材基础梳理：1.直线∶Ax＋B＋C=0与椭圆C∶f(x，y)＝0的位置关系可分为：相交、相切、相离．2.三种位置关系的判定条件可归纳为：设直线:Ax+By+C=0,椭圆C:f(x,y)=0,由消去y(或消去x)得:ax2+bx+c=0,△=b2-4ac,△＞0相交△＜0相离△=0相切3.直线与椭圆相交的弦长公式若直线与椭圆交于两点，则弦长=。典例解析：1.已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2

2、)．(1)求椭圆G的方程；(2)求△PAB的面积．2.已知椭圆C：上动点到定点,其中的距离的最小值为1.（1）请确定M点的坐标；（2）试问是否存在经过M点的直线,使与椭圆C的两个交点A、B满足条件（O为原点）,若存在,求出的方程,若不存在请说是理由.3.如图所示，已知圆定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足，点N的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足的取值范围.4.设上的两点，已知，，若且椭圆的离心率短轴长为2，为坐标原点.(Ⅰ)求椭圆的方程；

3、（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.5.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程．(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．6.在直角坐标平面内，已知点，是平面内一动点，直线、

4、斜率之积为.(Ⅰ)求动点的轨迹的方程；(Ⅱ)过点作直线与轨迹交于两点，线段的中点为,求直线的斜率的取值范围.直线与椭圆的位置关系参考答案1.解　(1)由已知得c＝2，＝，解得a＝2.又b2＝a2－c2＝4，所以椭圆G的方程为＋＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m，由消去y得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1

5、3，x2＝0，所以y1＝－1，y2＝2.所以

6、AB

7、＝3，又点P(－3,2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝＝.所以△PAB的面积S＝

8、AB

9、·d＝.2.解：设，由得故由于且故当时，的最小值为此时，当时，取得最小值为解得不合题意舍去。综上所知当是满足题意此时M的坐标为（1，0）。（2）由题意知条件等价于，当的斜率不存在时，与C的交点为，此时，设的方程为，代入椭圆方程整理得，由于点M在椭圆内部故恒成立，由知即，据韦达定理得，代入上式得得不合题意。综上知这样的直线不存在。3.解：（1）∴NP为AM的垂直平分线，∴

10、NA

11、=

12、NM

13、又∴动点N的轨迹是以点C（－1

14、，0），A（1，0）为焦点的椭圆且椭圆长轴长为∴曲线E的方程为（2）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为得由设又整理得又又当直线GH斜率不存在，方程为即所求的取值范围是4.解：（Ⅰ）椭圆的方程为（Ⅱ）由题意，设AB的方程为由已知得：(Ⅲ)（1）当直线AB斜率不存在时，即,由得又在椭圆上，所以，所以三角形的面积为定值（2）.当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b所以三角形的面积为定值.5.解　(1)∵e2＝＝＝，∴a2＝3b2，∴椭圆方程为＋＝1，即x2＋3y2＝3b2.设椭圆上的点到点Q(0,2)的距离为d，则d＝＝＝＝，∴当y＝－1时，d取得最大

15、值，dmax＝＝3，解得b2＝1，∴a2＝3.∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)假设存在点M(m，n)满足题意，则＋n2＝1，即m2＝3－3n2.设圆心到直线l的距离为d′，则d′<1，d′＝＝.∴

16、AB

17、＝2＝2.∴S△OAB＝

18、AB

19、d′＝·2·＝.∵d′<1，∴m2＋n2>1，∴0<<1，∴1－>0.∴S△OAB＝≤＝，当且仅当＝1－，即m2＋n2＝2>1时，S△OAB取得最大值.由得∴存在点M满足题意，M点坐标为，，或，此时△OAB的面积为.6.解:(Ⅰ)设点的坐标为，依题意，有.化简并整理，得.∴动点的轨迹的方程是.(Ⅱ)解：依题意，直线过点且斜率不

20、为零.(1)当直线与轴垂直时，点的坐标