高中信息技术 全国青少年奥林匹克联赛教案 回溯法.doc

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1、信息学奥赛中的基本算法(回溯法)如果上期的“百钱买百鸡”中鸡的种类数是变化的，用枚举法就无能为力了，这里介绍另一种算法——回溯法。回溯基本思想回溯法是一种既带有系统性又带有跳跃性的搜索法，它的基本思想是：在搜索过程中，当探索到某一步时，发现原先的选择达不到目标，就退回到上一步重新选择。它主要用来解决一些要经过许多步骤才能完成的，而每个步骤都有若干种可能的分支，为了完成这一过程，需要遵守某些规则，但这些规则又无法用数学公式来描述的一类问题。下面通过实例来了解回溯法的思想及其在计算机上实现的基本方法。例1、从N个自然数(1,2,…,n)中选出r个数的所有组合。算法分

2、析：设这r个数为a1,a2,…ar,把它们从大到小排列，则满足：（1）a1>a2>…>ar;（2）其中第i位数(1<=i<=r)满足ai>r-i;我们按以上原则先确定第一个数，再逐位生成所有的r个数，如果当前数符合要求，则添加下一个数;否则返回到上一个数，改变上一个数的值再判断是否符合要求，如果符合要求，则继续添加下一个数，否则返回到上一个数，改变上一个数的值……按此规则不断循环搜索，直到找出r个数的组合，这种求解方法就是回溯法。如果按以上方法生成了第i位数ai，下一步的的处理为：（1）若ai>r-i且i=r，则输出这r个数并改变ai的值:ai=ai-1;（2）

3、若ai>r-i且i≠r，则继续生成下一位ai+1=ai-1;（3）若ai<=r-i，则回溯到上一位，改变上一位数的值:ai-1=ai-1-1;算法实现步骤：第一步：输入n,r的值，并初始化；i:=1;a[1]:=n;第二步：若a[1]>r-1则重复：若a[i]>r-i，①若i=r，则输出解，并且a[i]:=a[i]-1;②若i<>r，则继续生成下一位：a[i+1]:=a[i]-1;i:=i+1;若a[i]<=r-i，则回溯：i:=i-1;a[i]:=a[i]-1;第三步：结束；程序实现varn,r,i,j:integer;a:array[1..10]ofinte

4、ger;beginreadln(n,r);i:=1;a[1]:=n;repeatifa[i]>r-ithen{符合条件}ifi=rthen{输出}beginforj:=1tordowrite(a[j]:3);writeln;a[i]:=a[i]-1;endelse{继续搜索}begina[i+1]:=a[i]-1;i:=i+1;endelse{回溯}begini:=i-1;a[i]:=a[i]-1;end;untila[1]=r-1;end.下面我们再通过另一个例子看看回溯在信息学奥赛中的应用。例2数的划分（noip2001tg）问题描述整数n分成k份，且每份不

5、能为空，任意两份不能相同(不考虑顺序)。例如：n=7，k=3，下面三种分法被认为是相同的。1，1，5;1，5，1;5，1，1;问有多少种不同的分法。输入：n，k(6

6、-a2-…-ai,我们根据不同的情形进行处理：（1）如果i=k,则得到一个解，则计数器t加1，并回溯到上一步，改变ai-1的值；（2）如果i=ai,则添加下一个元素ai+1；（3）如果i=a[i]则继续搜索；②若sum

7、;a[i]:=a[i-1];sum:=sum-a[i];回溯时，dec(i);inc(a[i]);sum:=sum+a[i+1]-1;第三步：输出。程序如下：varn,nk,sum,i,k:integer;t:longint;a:array[1..6]ofinteger;beginreadln(n,k);nk:=ndivk;t:=0;i:=1;a[i]:=1;sum:=n-1;{初始化}repeatifi=kthen{判断是否搜索到底}begininc(t);dec(i);inc(a[i]);sum:=sum+a[i+1]-1;end{回溯}elsebegini

8、fsum>=a[i]th