高中数学 1.1.1正弦定理学案 新人教A版必修 .doc

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1、1．1．1正弦定理学习目标1．掌握正弦定理的推导过程；2．理解正弦定理在讨论三角形边角关系时的作用；3．能应用正弦定理解斜三角形要点精讲1．正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即　　===2R（R为△ABC外接圆半径）（1）直角三角形中：sinA=，sinB=，sinC=1即　　c=，c=，c=．∴==（2）斜三角形中证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中S△ABC=两边同除以即得：==证明二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴同理=2R，＝2R证明三：（向量法）过A作单位向量垂直于由　+=两边同乘以单位向量得•(+)=•则

2、•+•=•∴

3、

4、•

5、

6、cos90°+

7、

8、•

9、

10、cos(90°-C)=

11、

12、•

13、

14、cos(90°-A)∴∴=同理，若过C作垂直于得：=∴==2．正弦定理的应用从理论上正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角3．中，已知及锐角，则、、满足什么关系时，三角形无解，有一解，有两解？（见图示）:⑴若A为锐角时:⑵若A为直角或钝角时:范例分析例1．（1）已知下列三角形的两边及其一边对角，先判断三角形是否有解？有解的作出解答。①；②；③；④。（2）在中,,若有两解,则的取值范

15、围为()Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、例2．（1）在△ABC中，已知，求的值；（2）在△ABC中，已知，求的值。例3．（1）在△ABC中，已知AB=l，∠C=50°，当∠B多大时，BC的长取得最大值.？（2）△ABC的三个角满足A

16、功能①，，②，，③==④2．结合正弦定理，三角形的面积公式有以下几种形式：，其中分别表示的边上的高、外接圆半径。基础训练一、选择题1．在△ABC中，a＝10，B=60°,C=45°,则c等于（）A．B．C．D．2．在中，若，则的值为（　　）A．　　　　B．　　　　C．　　　D．3、已知△ABC的面积为，且，则∠A等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°4．△ABC中,∠A、∠B的对边分别为a,b，且∠A=60°,,那么满足条件的△ABC（）A．有一个解B．有两个解C．无解D．不能确定5．在△ABC中，已知60°，如果

17、△ABC两组解，则x的取值范围是()A．B．C．D．二、填空题6．在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则7．在△ABC中，，则此三角形的最大边长为，外接圆半径为，面积为。8．在△ABC中，A＝60°，B＝45°，，则a＝；b＝。三、解答题9．在△ABC中，已知，A＝45°，在BC边的长分别为20，，5的情况下，求相应角C。10．（1）在；（2）在；（3）。能力提高11．BDCαβA图1如图1,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=,∠ABC=.（1）证明;（2）若AC=DC,求的值.1．1．1正弦定理（第1课时）参考

18、答案例1．解：（1）①因为，所以，，不可能，所以本题无解。②由，得，所以本题无解。③，所以或（舍去），故，，综上，，，。④，或，当时，，；当时，，，所以三角形有两解：，，；或，，。（2）选C；因为有两解，所以，即，得。例2．解：（1）由正弦定理知，，由合比定理得（2）由正弦定理知，；例3．解：（1）由正弦定理，，于是，当且仅当，即时，BC的长取得最大值。（2）因为，又2B=A+C,所以；而，所以，于是，因为，所以，故。例4．解：（1），，。（2）因为，所以的外接圆半径，面积。基础训练1~5BBDCC；6．；7．；；；8．。9．解：由正弦定理得（

19、1）当BC＝20时，sinC＝；°（2）当BC＝时，sinC＝；有两解或120°（3）当BC＝5时，sinC＝2>1；不存在10．解：（1），∴，由得，由得（2）∵，∴（3），BDCαβA图111．解：(1)．如图1，，　　，即．（2）．在中，由正弦定理得　　　　由(1)得，　　　　即．