高中数学 1.2 应用举例学案 新人教B版必修.doc

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1、§1.2　应用举例1．常见的有关名词、术语名词、术语意义仰角与俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角；目标视线在水平视线下方时叫俯角．如图1方位角一般是指北方向线顺时针到目标方向线的水平角．如方位角60°是指北偏东60°坡角坡面与水平面的夹角坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i＝＝tanα(i为坡比，α为坡角)，如图22．测量距离的基本类型及方案类别两点间不可通或不可视两点间可视但点不可达两点都不可达图形方法用余弦定理用正弦定理在△ACD中用正弦定理求AC在△BCD中用正弦定理求BC

2、在△ABC中用余弦定理求AB结论AB＝AB＝①AC＝；②BC＝；③AB＝3.测量高度的基本类型及方案类别点B与点C、D共线点B与C、D不共线图形方法先用余弦定理求出AC或AD，再解直角三角形求出AB在△BCD中先用正弦定理求出BC，在△ABC中∠A可知，再用正弦定理求出AB结论AB＝aAB＝4．解三角形应用题的一般步骤(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知与所求，理清量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型；(3)正确选择正、余弦定理求解；(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近

3、似计算的要求．可用下图描述：一、测量距离问题方法链接：测量平面距离时，往往把要测量的距离化为某一个三角形的一条边，再运用正弦定理或余弦定理加以求解．当涉及的三角形较多时，应寻求最优解法．例1　如图所示，某炮兵阵地位于A点，两观察所分别位于C，D两点．已知△ACD为正三角形，且DC＝km，当目标出现在B时，测得∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，求炮兵阵地与目标的距离是多少？(结果保留根号)分析　要求AB的长，可转化为解△ABC或△ABD，不管在哪个三角形中，AB边所对的角∠ACB或∠ADB都是确定的，AC＝AD＝CD＝，所需要的是BC

4、边(或BD边)，所以需先求BC边(或BD边)，可在△BCD中，结合余弦定理求解．解　在△BCD中，∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，∴∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°.由正弦定理，得BD＝＝(＋)．在△ABD中，∠ADB＝45°＋60°＝105°，由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos105°＝3＋(＋)2＋2××(＋)×(－)＝5＋2.∴AB＝(km)．∴炮兵阵地与目标的距离是km.二、测量高度问题方法链接：1.与测量高度有关的实际应用题主要有两类：一类是与铅垂线有关的问题，解决这类问题的关键是勾画

5、出平面图形，再分析有关三角形中哪些边与角已知，要求高度，需要知道哪些边与角，其次要注意正弦定理、余弦定理以及解直角三角形的应用；另一类是立体问题，解决这类问题的关键是依据题意画好立体图形．2．与测量高度有关的问题多数会涉及到直角三角形中线段的计算，注意直角三角形中边角关系的运用．3．解决测量高度应用题易错的地方是：对有关术语没有正确理解，从而无法画出有关图形．例2　(1)如图所示，在山底测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，求山高BC；(2)某人在塔的正东沿着南偏西60

6、°的方向前进40米以后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．解　(1)∵∠SAB＝∠CAB－∠CAS＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－15°＝30°，∴∠ASB＝180°－30°－15°＝135°.在△ABS中，AB＝＝＝1000(米)．∴BC＝AB·sin45°＝1000×＝1000(米)．答　山高BC为1000米．(2)依题意画出图，某人在C处，AB为塔高，沿CD前进，CD＝40米，此时∠DBF＝45°，从C到D测塔的仰角，只有B到CD最短时，仰角才最大，这是因为tan∠AEB＝

7、，AB为定值，要求出塔高AB，必须先求BE，而要求BE，须先求BD(或BC)．在△BDC中，CD＝40(米)，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°.由正弦定理得＝，∴BD＝＝20(米)．在Rt△BED中，∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.∴BE＝DBsin15°＝20×＝10(－1)(米)．在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，∴AB＝BEtan30°＝(3－)(米)．故所求的塔高为(3－)米．三、测量角度问题方法链接：对于有些与角度有关的实际问题，我们无法直接测量其角度，则需要在实际问题中构造相关三角形，通过解三角形，求出

8、相关角度．例3　一缉私艇发现在北偏东45°方向且距离12nmile的海面上有一走私船正以10nmile/h的速度沿东偏南15°方向逃窜．缉私艇的速度为14nmile/h，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东4