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《高中数学 1.2.4等差数列的综合应用2学案 北师大版必修.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第4课时 等差数列的综合应用思路方法技巧命题方向 已知Sn求an［例1］ 已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+n,求数列{an}的通项公式an.S1(n=1)［分析］ 利用an与Sn的关系an=，求解. Sn-Sn-1(n≥2)［解析］ 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（-n2+n）-［-(n-1)2+(n-1)］=-3n+104.当n=1时，a1=S1=-+=101满足上式，∴an=-3n+104(n∈N+).［说明］ 由Sn求通项公式an时，要分n=1和n≥2两种情况，然后验证两种情况
2、可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示.变式应用1 Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an.（1）Sn=2n2+3n＋2；（2）Sn=3n-1.［解析］ （1）当n=1时，a1=S1=7,当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n2+3n＋2)-［2(n-1)2+3(n-1)＋2］=4n+1，又a1=7不适合上式，7 （n=1）∴an=.4n+1 (n≥2)(2)当n=1时，a1=S1=2,当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（3n-1）-（3n-1-1）=2×3n-1，显然a1适合上式，∴an=2×3
3、n-1 (n∈N+).命题方向 求数列{
4、an
5、}的前n项和［例2］ 已知数列{an}的前n项和Sn=12n-n2,求数列{
6、an
7、}的前n项和Tn.［分析］ 由Sn＝12n-n2知Sn是关于n的无常数项的二次函数且n∈N+，可知{an}是等差数列，可求出an，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出Tn.［解析］ 当n=1时，a1=S1=12-12=11.当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(12n-n2)-［12(n-1)-(n-1)2］=13-2n.又n=1时适合上式，∴{an}的通项公式为an=13-2n.由an=1
8、3-2n≥0得n≤，即当1≤n≤6(n∈N+)时，an>0,当n≥7时，an<0.①当1≤n≤6（n∈N+）时，Tn=
9、a1
10、+
11、a2
12、+…+
13、an
14、=a1+a2+…+an=12n-n2.②当n≥7(n∈N+)时，Tn=
15、a1
16、+
17、a2
18、+…
19、an
20、=(a1+a2+…+a6)-(a7+a8+…+an)=S6-(Sn-S6)=2S6-Sn=2(12×6-62)-［11n+×(-2)］=n2-12n+72. 12n-n2(1≤n≤6,n∈N+)∴Tn=. n2-12n+72(n≥7,n∈N+)［说明］ 对于带绝对值符
21、号的数列求和问题，应先弄清n取什么值时，an>0或an<0，然后求解.本题的易错点是：（1）对n在什么范围内取值时，an>0或an<0的讨论.（2）在求Tn时需对n的范围进行分类讨论，不能忽略了当1≤n≤6时的情况.变式应用2 等差数列｛an｝的前n项和为Sn=-5n2+20n，求数列{
22、an
23、}的前n项和Sn.［解析］ 设首项为a1，公差为d，则a1=S1=15,S2=-5×4+40=20.∴a2=S2-a1=5,∴d=a2-a1=-10.∴an=-10n+25.由an≥0,即-10n+25≥0，得n≤2.5,又∵n∈N+
24、，∴a1,a2为正，a3,a4,…为负,∴当n≤2时，
25、an
26、=an,Sn=-5n2+20n;当n>2时，
27、an
28、=-an,∴Sn=
29、a1
30、+
31、a2
32、+…+
33、an
34、=a1+a2-a3-a4-…-an=-(a1+a2+…+an)+2(a1+a2)=-Sn+2S2=5n2-20n+40.-5n2+20n （n≤2）∴Sn=.5n2-20n+40 （n>2）命题方向 等差数列前n项和性质［例3］ 项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数.［分析］ 设项数为2n－1，则奇数项有n项，偶数项
35、为n-1项，由奇数项之和与偶数项之和的关系，列式求解.［解析］ 设等差数列共2n-1项，则奇数项有n项，偶数项有n-1项，中间项是第n项，记为an,设公差为d, S奇＝a1+a3+a5+…+a2n-1=44则S偶＝a2+a4+a6+…+a2n-2=33∴S奇－S偶＝nan-(n-1)an=an=11即中间项an=11.又S2n-1=S奇＋S偶＝77.∴==77∴(2n-1)×11＝77，∴2n-1=7.即数列的中间项为11，这个数列共7项.［说明］ 等差数列｛an｝中，公差为d:①若共有2n项，则S2n=n(an+an+
36、1);S偶－S奇＝nd;S偶：S奇＝an+1：an.②若共有2n-1项，则S2n-1=(2n-1)an;S奇－S偶＝an;S偶：S奇＝（n-1）：n.变式应用3 在等差数列｛an｝中，前12项和为354，前12项中奇数项的和与偶数项的和之比为27：32,求公差d.［解析］ 解法一：设这个数
