高中数学 1.3.1 三角函数的周期性互动课堂学案 苏教版必修.doc

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1、高中数学1.3.1三角函数的周期性互动课堂学案苏教版必修4疏导引导关于周期函数的概念，也可以叙述为：如果某函数对于自变量的一切值，每增加或减少一个定值（这样的值可以有很多个），函数值就重复出现，那么这个函数就叫做周期函数.例如：sin(α+2kπ)=sinα(k∈Z)这表明，正弦函数在定义域内，自变量每增加（k＞0时）或减少（k＜0时）一个定值2

2、k

3、π，它的函数值就重复出现，所以正弦函数是周期函数.理解周期函数的概念要注意以下三点：①存在一个常数T≠0；②对其定义域内的每一个x值，x+T也属于定义域；③当x取定义域内每一个值时，f(x+T)=f(x)

4、恒成立.在理解周期函数定义时，首先要特别注意函数f(x+T)=f(x)恒成立是对f(x)的定义域中的每一个x值都成立，例如y=sinx(x∈R)对于x=,T=，显然有sin(+)=sin，但T=不是它的周期.其次应注意，周期性不是三角函数的专有性质.利用周期函数的定义，可以推得周期函数的一个必要不充分条件：它的定义域至少一方无界.例如y=sinx,x∈［-4π,10π］就不是周期函数，而y=sinx,x∈［2π,+∞)是只有正周期的周期函数.对于每一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

5、例如，2π是正弦函数的所有周期中的最小正数，所以2π是正弦函数的最小正周期.值得注意的是：并非每一个周期函数都有最小正周期.例如，任意非零常数都是常数函数f(x)=c(c为常数)的周期，因而常数函数无最小正周期.对于f(x)=Asin(ωx+φ)的周期公式T=,应明确A,ω,φ为常数，且A≠0，ω＞0，还应掌握这个公式的推导方法.下面作为例子给出f(x)=Asin(ωx+φ)的周期公式T=的推导过程.令Z=ωx+φ，由y=AsinZ的周期是2π知f(Z+2π)=Asin(Z+2π)=Asin(ωx+φ+2π)=Asin［ω(x+）+φ］=f（x+）=f

6、(Z)=Asin(ωx+φ)=f(x)对一切x都成立，所以T=是y=Asin(ωx+φ）的周期.活学巧用【例1】求y=sin2x的周期.解:ω=2，∴T=

7、

8、==π.【例2】求y=sin()的周期.解:∵ω=，由T=得T==4π.【例3】设y=f(t)是某港口水的深度，y（米）关于时间t(时)的函数，0≤t≤24，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：T03691215182124Y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经观察，函数y=f(t)的图象可近似地看成函数y=k+Asin(ωx+φ)的图象，下面

9、的函数中，最能近似表示数据间对应关系的函数是（其中t∈［0,24］）()A.y=12+3sinB.y=12+3sin(+π)C.y=12+3sinD.y=12+3sin(+)解析：根据图表画出y=A(sinωx+φ)+k的图象，如图.∴A==3，k==12，T=12，ω=，φ=0.∴y=3sin+12.答案：A